프리드버그 선형대수학 연습문제 1.1
5. 원점이 시점이고 $(a_1, a_2)$가 종점인 벡터 $x$에 대하여 벡터 $tx$의 시점은 원점이고 종점은 $(ta_1, ta_2)$임을 증명하라.
점 A로 향하는 벡터를 $x$ 점 C로 향하는 벡터를 $tx$라하고, 각각의 x축으로의 수선의 발을 B, D라 하자.
이때 원점을 O라 하면 삼격형 OBA와 삼각형 ODC는 각 O를 공유하고 둘 다 직각을 가지고 있으므로 닮음이 된다.
따라서 대응변의 길이의 비율이 서로 동일하므로 OA:OC = OB:OD = AB:CD = t 가 되고
OB가 $(a_1, 0)$일때 OD는 $(ta_1, 0)$이고 AB: CD도 동일하게 하면 점 C로 향하는 벡터, 즉 $tx$의 종점은 $(ta_1, ta_2)$가 된다.
6. $(a, b)와 (c, d)$를 양 끝점으로 하는 선분의 중점의 좌표는 $(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2})$ 임을 증명하라.
점 A$(a, b)$와 점 B$(c, d)$를 종점으로하는 두 벡터 u, v가 있다고 하자 이때 A를 시점으로 하고 B를 종점으로 하는 직선의 방정식을 구할 수 있다.
$B-A = (c-a, d-b)$ 따라서 w의 방정식은 $(a, b) + t(c-a, d-b)$가 된다.
여기서 선분 AB의 중점의 좌표를 구하기위해 t에 1/2을 대입하면 중점의 좌표가 $(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2})$임을 알 수 있다.
7. 평행사변형의 두 대각선이 서로를 이등분함을 증명하라.
선분 AB의 중점과 선분 DC의 중점의 좌표가 같음으로써 위 명제를 증명하겠다.
점 A의 좌표를 $(a, b)$라 하고 점 B의 좌표를 $(c, d)$라 하자.
선분 f, h는 평행하고 선분 g, k 또한 그러하다.
따라서 각 점 A, B를 종점으로 하는 벡터가 있을 때 두 벡터를 더하면 점 C의 위치가 되고 좌표는 $(a+c, b+d)$가 된다.
이제 선분 DC와 선분 AB의 중점을 구해보면 $(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2})$로 동일한 것을 확인할 수 있다.