프리드버그 선형대수학 연습문제 1.2
9. 정리 1.1의 따름정리 1, 따름정리 2와 정리 1.2(3)을 각각 증명하라.
정리 1.1의 따름정리 1 : (VS3)을 만족하는 벡터 $0$은 유일하다.
VS3 : 모든 $x \in \textbf{V}$에 대하여 $x + 0 = x$인 $0 \in \textbf{V}$이 존재한다.
정리 1.1의 따름정리 2 : (VS4)를 만족하는 벡터 y는 유일하다.
VS4 : 각 $x \in \textbf{V}$마다 $x + y = 0$인 $y \in \textbf{V}$가 존재한다.
정리 1.2(3) : 모든 스칼라 $a$에 대하여 $a0 = 0$이다.
따름정리1
덧셈의 항등원이 $0$과 $0^\prime$이 있다고 하자.
그러면 $0 + 0^\prime = 0, 0^\prime + 0 = 0^\prime$ 일 것이다.
이떄 VS1을 통해 $0^\prime + 0 = 0 + 0^\prime$에서 좌항, 우항 둘중 아무나 대입했을떄 아래와 같은 식이 나온다.
$0^\prime + 0 = 0$
이를 통해 $0^\prime = 0$임을 확인할 수 있다.
따름정리2
$x \in \textbf{V}$에 대한 덧셈의 역원이 $y$와 $y^\prime$, 두개 있다고 하자.
그러면 $x + y = 0$, $x + y^\prime = 0$ 일 것이다.
따라서
$$y = y + 0 = y + (x + y^\prime) = (y + x) + y^\prime = (x + y) + y^\prime = 0 + y^\prime = y^\prime$$
이 성립하고 $y = y^\prime$임을 확인할 수 있다.
정리 1.2(3)
$a \in F$에 대해 $a0 + 0 = a0 = a(0 + 0) = a0 + a0$이 성립한다.
이를 통해 $0 = a0$임을 확인할 수 있다.
13. 모든 실수 순서쌍 $(x, y)$의 집합 $\textbf{V}$가 있다. $(a_1, a_2)$, $(b_1, b_2) \in \textbf{V}$, $c \in R$ 에 대하여 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하자.
$$(a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2b_2), c(a_1, a_2) = (ca_1, a_2)$$
$\textbf{V}$가 $R$-벡터공간인지 판정하고 근거를 설명하라.
여기서 꽤 헤맸었다.
답지에서는 VS4가 성립하지 않기에 벡터공간이 아니라고 하는데, 처음에는 $(a_1, a_2)$에 대해 $(-a_1, 0)$이 덧셈의 역원으로 존재하기에 "여러 원소가 공통된 역원을 가질 수 있어서 그런가" 라고 생각을 했다.
하지만 VS4는 "각 원소가 역원을 가진다"이지 "각 원소가 각자 다른 역원을 가진다"는 아니기에 의아했다.
실제로 이 때문은 아니었고 내가 의문을 가진원인은 덧셈의 항등원이 당연히 $(0, 0)$일거라고 생각한 나의 실수 때문이었다.
덧셈의 정의에 의하면 위 집합에서의 덧셈의 항등원은 $(0, 1)$이다.
때문에 덧셈의 역원은 $(-a_1, \frac{1}{a_2})$가 된다.
하지만 이때 $a_2$가 0이 된다면 해당 원소의 역원은 존재할 수가 없게 된다.
체에서 0의 곱셈의 역원은 정의되지 않기 때문이다.
따라서 VS4가 성립되지 않기에 벡터공간이 될 수 없다.
19. 집합 $\textbf{V} = {(a_1, a_2) : a_1, a_2 \in R } $를 생각하자. $(a_1, a_2), (b_1, b_2) \in \textbf{V}$, $c \in R$ 에 대하여 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의한다.
$$(a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2), c(a_1, a_2) = \begin{cases} (0, 0) & \text{if } c = 0, \\ (ca_1, \frac{a_2}{c}) & \text{if } c \neq 0. \end{cases} $$
$\textbf{V}$가 $R$-벡터공간인지 판정하고 근거를 설명하라
VS8이 성립되지 않기에 벡터공간이 될 수 없다.
$(3 + 4)(a, b) \Rightarrow 7(a, b) \Rightarrow (7a, \frac{b}{7})$
$(3 + 4)(a, b) \Rightarrow (3a, \frac{b}{3}) + (4a + \frac{b}{4}) \Rightarrow (7a, \frac{b}{3} + \frac{b}{4}) \Rightarrow (7a, \frac{7b}{12}) $