프리드버그 선형대수학 연습문제 1.3

1. 다음 명제의 참-거짓을 판정하라.

(a) 벡터공간 $\textbf{V}$의 부분집합 $\textbf{W}$가 벡터공간이면 $\textbf{W}$는 $\textbf{V}$의 부분공간이다.

거짓

벡터공간이 부분공간이 되기 위해서는 추가적으로 임의의 원소 둘의 합과 임의의 원소를 스칼라곱 했을때 그 값이 벡터공간에 존재해야한다는 조건이 필요하기 때문이다.

(b) 공집합은 모든 벡터공간의 부분공간이다.

거짓

오히려 공집합은 모든 벡터공간의 부분공간이 아니다.

$0$이 없기 때문이다.

(c) V가 점공간이 아닌 벡터공간이면 $\textbf{V}$에는 $\textbf{W} \neq \textbf{V}$인 부분공간 $\textbf{W}$를 포함한다.

참

${0}$은 항상 부분공간이기 때문이다.

(d) 벡터공간 $\textbf{V}$에서 두 부분집합의 교집합은 항상 $\textbf{V}$의 부분공간이다.

거짓

두 부분집합의 교집합은 결국 임의의 하나의 부분집합으로 볼 수 있다.  

부분집합만으로는 부분공간의 필요충분조건을 충족시킬 수 없다.

(e) $n \times n$ 대각행렬은 $0$이 아닌 성분의 개수가 $n$을 초과할 수 없다.

참

대각행렬은 대각성분을 제외하고는 전부 0이므로 행, 열 중 더 작은 길이보다 많은 0이 아닌 성분을 가질 수 없다.

(f) 정사각행렬의 대각합은 대각성분의 곱이다.

거짓

대각합은 대각성분을 전부 더한 값이지 곱한 값이 아니다.

(g) $\textbf{R}^3$에서 $xy$평면을 $\textbf{W} = {(a_1, a_2, 0) : a_1, a_2 \in R}$이라 하면 $\textbf{W} = \textbf{R}^2$이다.

거짓

왜 거짓인지 모르겠다.

단순히 끝에 0원소가 더 있어서 거짓으로 판정하는건지.. 기하학적으론 동일할텐데.

 

11. 집합 $\textbf{W} = \{f(x) \in \textbf{P}(F) : f(x) = 0$ 또는 $f(x)$의 차수는 $n\}$이 $n \geq 1$일 때 $\mathbf{P}(F)$의 부분공간인지 판정하고 근거를 설명하라.

부분공간이 아니다.  

$n \geq 1$이므로 $n = 0$일때가 $\mathbf{W}$에 정의되지 않는다.  

하지만 $a \in R$과 임의의 함수 $f(x) \in \mathbf{W}$가 있다 할 때, $f(x) + (-f(x) + a)$의 결과 함수의 차수가 0이 되므로, $\mathbf{W}$는 덧셈에 대하여 닫혀있지 않다고 할 수 있다.

 

20. 벡터공간 $\mathbf{V}$와 부분공간 $\mathbf{W}$에 대하여 $w_1, w_2, ... , w_n \in \mathbf{W}$일 때, 모든 스칼라 $a_1, a_2, ... , a_n$에 대하여 $a_1w_1 + a_2w_2 + ... + a_nw_n \in \mathbf{W}$임을 증명하라.

먼저 $\mathbf{W}$는 부분집합이므로 스칼라 곱에대하여 닫혀있다.  

따라서 $a_1w_1 \in \mathbf{W}$이다.  

이는 $a_1w_1 + a_2w_2 + ... + a_nw_n$의 다른 항에대해서도 동일하다. 

또한 $\mathbf{W}$ㄴ 덧셈에 대해서도 닫혀 있기때문에 $a_1w_1 + a_2w_2 + ... + a_nw_n \in \mathbf{W}$가 성립된다. 

 

22. 두 집합 $F_1$과 $F_2$는 체이다. 함수 $g \in \mathcal{F}(F_1, F_2) $는 모든 $t \in F_1$에 대하여 $g(-t) = g(t)$일 때 짝함수 또는 우함수(even function)라 하고, $g(-t) = - g(t)$일 때 홀함수 또는 기함수(odd function)이라고 한다. 다음을 증명하라.

(우함수의 집합) $\in \mathcal{F}(F_1, F_2)$과 (기함수의 집합) $\in \mathcal{F}(F_1, F_2)$은 각각 $\mathcal{F}(F_1, F_2)$의 부분공간이다.

 

$y = 0$은 우함수이자 기함수이므로 우함수의 집합과 기함수의 집합은 모두 $0$을 가지고 있다. 

 

우함수 $f(x)$와 $g(x)$가 있다하자.

각 함수의 결과값을 a, b라 하면 $f(x) + g(x)$의 결과 값은 a + b이다. 

$f(x) + g(x)$가 우함수이기 위해서는 $f(-x) + g(-x)$의 결과값이 -(a + b)이어야 한다.

이때 $f(x)$와 $g(x)$는 우함수 이니 $f(-x)$의 결과값은 -a이고 $g(-x)$는 -b이다.

따라서 $f(x) + g(x)$는 우함수이고, 이는 기함수에서도 동일하게 작동한다.  

 

위와 동일하게 스칼라 곱에도 적용시키면 우함수 또는 기함수$f(x)$가 있을때 $cf(x)$가 우함수 또는 기함수임을 확인할 수 있다.

 

23 ~ 30. 다음 정의를 이용하여 문제를 풀어 보자.  

공집합이 아닌 $S_1$과 $S_2$는 벡터공간 $\textbf{V}$의 부분집합이다. 두 집합의 합(sum) $S_1 + S_2$는 다음과 같이 정의한다.
$${x + y : x \in S_1, y \in S_2}$$

벡터공간 $\textbf{V}$와 부분공간 $\textbf{W}_1, \textbf{W}_2$에 대하여 $\textbf{W}_1 \cap \textbf{W}_2 = {0}$이고 $\textbf{W}_1 + \textbf{W}_2 = \textbf{V}$이면 $\textbf{V}$는 $\textbf{W}_1$와 $\textbf{W}_2$의 직합(direct sum)이라 하고 $\textbf{V} = \textbf{W}_1 \oplus \textbf{W}_2$라 표기한다.

 

 

23. 벡터공간 $\textbf{V}$와 부분공간 $\textbf{W}_1, \textbf{W}_2$를 생각하자.

(a) $\textbf{W}_1 + \textbf{W}_2$는 $\textbf{W}_1$과 $\textbf{W}_2$를 포함하는 ($\textbf{V}$의) 부분공간임을 증명하라.

 

(b) $\textbf{W}_1$과 $\textbf{W}_2$를 포함하는 ($\textbf{V}$의) 부분공간은 $\textbf{W}_1 + \textbf{W}_2$도 포함함을 증명하라.

 

$\textbf{W}_1$과 $\textbf{W}_2$는 모두 부분공간이므로 $0$을 가지고 있으므로 $\textbf{W}_1 + \textbf{W}_2$도 $0$을 가지고 있다.

$a,c \in \textbf{W}_1$와 $b,d \in \textbf{W}_1$가 있을때 $a + b, c + d \in \textbf{W}_1 + \textbf{W}_2$일 것이다.

이때 $\textbf{W}_1$는 부분공간이므로 덧셈에 대해 닫혀 있고 $a + c$를 원소로 가지고 있고 동일하게 $\textbf{W}_2$도 $b + d$를 원소로 가지고 있다

이때 $a + b + c + d \in \textbf{W}_1 + \textbf{W}_2$가 성립하게 되므로 $\textbf{W}_1 + \textbf{W}_2$는 덧셈에 대해 닫혀 있고 비슷한 방법으로 스칼라 곱에 대해서도 닫혀있음을 확인할 수 있다.

 

$\textbf{W}_1$과 $\textbf{W}_2$를 포함하는 ($\textbf{V}$의) 부분공간은 덧셈에 닫혀있으므로 $a \in \textbf{W}_1$와 $b \in \textbf{W}_1$가 있을때 $a + b$를 원소로 가지고 스칼라곱에 대해서도 비슷한 방법으로 확인할 수 있다.

따라서 $\textbf{W}_1 + \textbf{W}_2$도 포함함을 확인할 수 있다.