프리드버그 선형대수학 연습문제 1.4
(a) 영벡터는 공집합이 아닌 임의의(벡터에 대한) 집합의 일차결합이다.
참
모든 벡터공간 $\mathbf{V}$와 그의 원소 $v \in \mathbf{V}$에 대하여 $0v = 0$이기 때문이다.
(b) $\varnothing$의 생성공간은 $\varnothing$이다.
거짓
공집합의 생성공간은 ${0}$으로 정의한다고한다.
필자는 공집합의 생성공간은 공집합이라고 생각되지만 벡터공간의 공리 때문에 위와 같이 정의한다고 한다.
(c) 벡터공간 $\mathbf{V}$의 부분집합 $S$에 대하여, span($S$)는 $S$를 포함하는 $\mathbf{V}$의 모든 부분공간의 교집합이다.
참
말이 복잡하게 돼있는데 $S$를 포함하는 부분공간은 span($S$)를 포함하는지 물어보는 것이다.
생성공간은 벡터들의 일차결합으로 만들어지는 공간이고 벡터공간은 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀 있으므로 참이다.
1.3 연습문제의 20번과 동치이다.
(d) 연립일차방정식을 풀 때, 임의의 상수를 방정식에 곱해도 해집합은 바뀌지 않는다.
거짓
0이 곱해질경우 식하나가 사라져 제약조건이 하나 없어지는 것이므로 해집합이 바뀔 수 있다.
(e) 연립일차방정식을 풀 때, 한 방정식에 임의의 스칼라를 곱하여 다른 방정식에 더해도 해집합은 바뀌지 않는다.
참
3.4절에서 이 성질을 증명한다고 한다.
현재 아는 지식으로만 증명해 보자면
한 방정식에 임의의 스칼라를 곱하여 다른 방정식에 더하는 작업은 단순히 좌항, 우항에 같은 값을 더하는 것이니 해집합이 바뀌지 않는 것 아닐까 추측해 본다.
예를 들어 $ax + by = m$, $cx + dy = n$이 있을 때 오른쪽 방정식을 단순히 $n = n$, 더 단순하게 하면 임의의 상수를 대입해$17 = 17$로 봤을 때 이를 스칼라배하고 왼쪽식에 더하는 건 $ax + by + 17k = n + 17k$와 같은 연산이므로 너무나 당연하고 이상할 것 없는 연산이라 위와 같이 추측해 봤다.
생성공간과 벡터공간의 덧셈과 스칼라배에 대한 닫힘을 이용해 증명해보려 했지만 뭔가 결론에 도달하지 못해서 위의 추측이 최선이었다.
(f) 모든 연립일차방정식에는 해가 있다.
거짓
$(a, b, c)$가 벡터 $t, v$의 생성공간에 속한다고 해보자.
모든 연립일차방정식에 해가 존재하려면 span($t, v$)에 무조건 $(a, b, c)$가 존재해야 하는데, 이는 3차원에서 특정 2차원 평면에 속하지 않는 벡터를 떠올리면 쉽게 잘못됨을 확인할 수 있다.