프리드버그 선형대수학 연습문제 1.7

수학/선형대수학

aeongsseu 2025. 2. 19. 13:09

이번 장에서는 기저를 무한차원으로 확장시킨다.

사실 이장의 전부이기 때문에 이를 기록한다.

핵심아이디어는 아래와 같다.

1. 무한집합에는 극대 부분집합이 존재할 수 있다.

2. 일차독립인 극대 부분집합은 기저와 동치이다.

3. 모든 벡터공간은 일차독립인 극대 부분집합을 가진다.

1번은 증명할 것이 없다.

기저를 무한차원으로 확장시키기 위해 극대 원소라는 개념을 도구로 사용하는 느낌.

2번을 증명해 보자

벡터공간 $\textbf{V}$가 있고 $\textbf{V}$를 생성하는 부분집합 $S$가 있다.

일차독립인 극대 부분집합은 $\beta$라 하자.

$\beta$는 일차독립이므로 $\beta$가 벡터공간을 생성함을 보이면 충분하다.

$S \subseteq $span$(\beta)$라 가정하자.

만약 위 가정이 틀릴 경우 $v \notin $span$(\beta)$인 $v \in S$가 존재한다.

이 경우 정리 1.7에 의해 $\beta \cup {v}$가 일차독립이고 이는 $\beta$가 극대임에 모순된다.

따라서 $S \subseteq $span$(\beta)$이므로 $\textbf{V} = $span$(\beta)$이다.

3번을 증명해 보자.

벡터공간 $\textbf{V}$와 일차독립인 부분집합 $S$를 생각하자. $S$를 포함하는 $\textbf{V}$의 일차독립인 극대 부분집합이 존재함을 보이자.

$S$를 포함하는 일차독립인 ($\textbf{V}$의)부분집합을 원소로 가지는 집합족을 $\mathcal{F}$라 하자.

$\mathcal{F}$에서 임의의 사슬 $\mathcal{C}$를 가져오고 $\mathcal{C}$의 모든 멤버를 포함하는 $\mathcal{F}$의 멤버 $U$가 있음을 보일 것이다.

$\mathcal{C}$는 S를 포함하므로 $S \subseteq U \subseteq \textbf{V}$이므로 $U$가 일차독립임을 보이기만 하면 된다.($\mathcal{F}$가 $S$를 포함하는 일차독립인 부분집합을 원소로 가지는 집합족이므로)

$\mathcal{C}$가 공집합일 경우 $U = S$로 잡는다.

이외의 경우에도 간단하다.

$\mathcal{C}$는 일차독립인 부분집합이므로 $\mathcal{C}$의 모든 멤버의 합집합인 $U$또한 일차독립이다.

이제 하우스도르프 극대원리에 의해 $\mathcal{C}$의 모든 멤버를 포함하는 멤버가 있으므로 $\mathcal{F}$에는 극대 원소가 존재한다.

이 극대원소는 $\textbf{V}$의 일차독립인 극대 부분집합이다.

벡터공간이 무한차원이라는건 일차독립인 무한집합이 있다는 뜻이다.

이때 무한집합 $\{\pi, \pi^2, \pi^3, ...\}$을 잡아보자.

이 집합이 일차독립임을 보이면 된다.

일차독립임을 보이기 위해 위 집합의 일차결합이 0이라 가정하자.

$a_1\pi + a_2\pi^2 + a_3\pi^3 + a_4\pi^4 +... = 0$

이때 $\pi$를 $x$로 치환하면 $f(x) = a_1x + a_2x^2 + ...$이 된다.

이는 $f(\pi) = 0$임을 의미하는데 $\pi$는 초월수이므로 실수 계수를 가지는 다항식의 해가 될 수 없다.

따라서 일차결합식은 0의 자명한 표현밖에 될 수 없고 무한집합이 일차독립임을 의미한다.