프리드버그 선형대수학 연습문제 2.4

9. $A, B$가 $n \times n$ 행렬이고 $AB$는 가역이라 하자. 이때 $A, B$ 모두 가역임을 증명하라.

이전 장의 내용을 잘 숙지하고 연습문제를 제대로 풀었으면 쉽게 해결할 수 있다.

문재의 힌트에 나와있듯이 2.3.12에서 만약 선형변환 $UT$가 단사라면 $T$단사이고 $UT$가 전사이면 $U$가 전사임을 증명했다.

이를 이번문제에 적용하면 $AB$가 가역이므로 $L_AB$도 가역이다. 

$L_AB = L_AL_B$이므로, $L_A$는 전사이고 $L_B$는 전사임을 알 수 있다.

이때 $A, B$의 정의역과 공역의 차원이 같으므로 정리 2.5에 의해 "선형변환이 전사이다"와 "선형변환이 단사이다" 라는 명제는 동치임을 알 수 있다. 

따라서 $A, B$는 모두 전단사 함수이므로 가역이다.

 

15. $n$차원 벡터공간 $\textbf{V}, \textbf{W}$와 선형변환 $\textbf{T} : \textbf{V} \rightarrow \textbf{W}, \textbf{V}$의 기저 $\beta$에 대하여 $\textbf{T}$가 동형사상이기 위한 필요충분조건은 $\textbf{T}(\beta)$가 $\textbf{W}$의 기저임을 증명하라.

$\textbf{T}$가 동형사상이면 $\textbf{T}$가 전단사함수라는 것을 알고있다.

그리고 2.1.14(3)에 의해 $\textbf{T}$가 전단사함수라면 $\textbf{T}(\beta)$가 $\textbf{W}$의 기저라는 것은 증명돼 있다.

또한 필요조건은 일차독립인 $\textbf{V}$의 부분집합 $x$에 대해 $\textbf{T}(x)$가 일차독립인 $\textbf{W}$의 부분집합을 반환한다면 $\textbf{T}$는 단사임이 2.1.14(1)에 증명되어 있고, $\textbf{T}(\beta)$가 $\textbf{W}$의 기저라는건 $span(\textbf{T}(\beta)) = \textbf{R}(\textbf{T}) = \textbf{W}$ 즉, $\textbf{T}$가 전사임을 의미한다.