프리드버그 선형대수학 연습문제 2.7
2. 다음 명제의 참-거짓을 판정하라. 명제가 참이면 증명하고, 거짓이면 반례를 제시하라.
(a) $\mathbfsf{C}^{\infty}$의 모든 유한차원 부분공간은 계수가 상수인 동차 선형 미분방정식의 해공간이다.
헷갈렸던 게 $y = 0$은 미분이 되는 함수이다. (당연한 거 아니냐 할 수 있는데 나도 당연히 연속가능하고 좌미분과 우미분이 같고.. 하는 개념은 알지만 $y = 0$도 미분이 되는 거로 치면 사실상 대부분이 무한번 미분이 되는 함수가 아니냐 생각했다는 변명)
즉 $y = t$는 $\mathbfsf{C}^{\infty}$에 속한다.
그러면 $y = t$가 만드는 부분공간을 생각하자.
이 공간은 유일하게 $0y = 0$라는 미분방정식의 해이다.
하지만 $0y = 0$의 해공간은 $\mathbfsf{C}^{\infty}$이므로 부분공간이 해당 미분방정식의 해공간은 아니다.
1계 미분방정식을 봐보자 $ay' + by = 0$ 여기에 $y = t$를 입력하면 $a + bt = 0$이다.
0이 아닌 $a, b$에 대해서 위 방정식은 성립하지 않으므로 $y = t$가 만드는 부분공간은 위 미분방정식의 해공간이 될 수 없다.
2계 이상에 대해서는 $y^{(k)}$가 0이 되므로 1계 미분방정식과 동일한 결과가 나온다.
따라서 위 명제는 거짓이다.
(b) 해공간의 기저가 $\{t, t^2\}$인 상수 계수 동차 선형 미분방정식이 존재한다.
정리 2.32에 의해 2차원 부분공간을 해공간으로 가지는 미분방정식은 2계 미분방정식이다.
따라서 임의의 2계 미분방정식 $ay'' + by' + cy = 0$을 가정하고 여기에 $mt + nt^2$을 입력했을 때 해당 방정식이 성립하려면 $a, b, c$가 0이어야 함을 알 수 있다.
즉 위 명제는 거짓이다.
더 간단한 방법으로는 (a)명제에서 알아봤듯이 미분방정식의 해공간이 $y = t$를 포함할 경우 해당 해공간은 $\mathbfsf{C}^{\infty}$임을 알 수 있다.
(d) ~ (e). 두 다항식 $p(t), q(t) \in \mathbfsf{P}(C)$에 대하여 $x \in \mathbfsf{N}(p(\mathbfsf{D})), y \in \mathbfsf{N}(q(\mathbfsf{D}))$라 하자.
(d) $x + y \in \mathbfsf{N}(p(\mathbfsf{D})q(\mathbfsf{D}))$
$p(\mathbfsf{D})q(\mathbfsf{D})(x + y) = p(\mathbfsf{D})q(\mathbfsf{D})(x) + p(\mathbfsf{D})q(\mathbfsf{D})(y)$
이때 $p(\mathbfsf{D}), q(\mathbfsf{D})$는 다항식이므로 교환법칙이 적용된다.(엄밀하게 다항식은 교환법칙이 적용되는지는 정확하지 않다.)
따라서 $q(\mathbfsf{D})p(\mathbfsf{D})(x) + p(\mathbfsf{D})q(\mathbfsf{D})(y)$로 변환할 수 있고 이를 계속해서 전개해 보면
$q(\mathbfsf{D})p(\mathbfsf{D})(x) + p(\mathbfsf{D})q(\mathbfsf{D})(y) = q(\mathbfsf{D})(0) + p(\mathbfsf{D})(0) = 0$이다.
즉 위 명제는 참이다.
(e) $xy \in \mathbfsf{N}(p(\mathbfsf{D})q(\mathbfsf{D}))$
$y' - y = 0$의 해는 $e^t$이고 $y' + y = 0$의 해는 $e^{-t}$이다.
하지만 두 해의 곱인 1은 $y'' - y = 0$의 해가 되지 못한다.
따라서 위 명제는 거짓
10. 정리 2.33과 정리 2.33의 따름정리를 증명하라.
정리 2.33
서로 다른 $n$개의 복소수 $c_1, c_2, \ldots, c_n$에 대하여 지수함수의 집합 $\{e^{c_1t}, e^{c_2t}, \ldots, e^{c_nt}\}$은 일차독립이다.
따름정리
계수가 상수인 $n$계 동차 선형 미분방정식의 보조다항식이 서로 다른 $n$개의 해 $c_1, c_2, \ldots, c_n$을 가지면 $\{e^{c_1t}, e^{c_2t}, \ldots, e^{c_nt}\}$은 주어진 미분방정식의 해공간의 기저이다.
먼저 $n = 1$일 때 $\{e^{c_1t}\}$는 당연히 일차독립이다.
이제 $\{e^{c_1t}, e^{c_2t}, \ldots, e^{c_nt}\}$를 일차독립이라 가정하고 $k = n + 1$을 두자.
$\{e^{c_1t}, e^{c_2t}, \ldots, e^{c_kt}\}$가 일차독립임을 보이기 위해$\sum\limits_{i=1}^k a_ie^{c_it} = 0$이라 가정하자.
임의의 1계 미분연산자 $(\mathbfsf{D} - c_kI)$를 두고 위 일차결합을 입력으로 해 전개하면 $\sum\limits_{i=1}^{k-1} (c_i - c_k)a_ie^{c_it}$가 됨을 알 수 있다.
그리고 실제로는 영함수를 입력한 것이니 그 결과는 당연히 영함수이다.
이때 $k - 1 = n$이므로 위 식은 $\{e^{c_1t}, e^{c_2t}, \ldots, e^{c_nt}\}$의 일차결합이다.
이때 $\{e^{c_1t}, e^{c_2t}, \ldots, e^{c_nt}\}$를 일차독립이라 가정했었으니 위 식의 상수는 전부 0이어야 한다.
즉 $(c_i - c_k)a_i = 0$이고 $c_i$들은 전부 서로 다른 복소수이므로 $c_i - c_k$는 0이 될 수 없다 따라서 $a_i = 0 (i = 1, 2, \ldots, n)$이다.
이를 가지고 처음 영함수라 가정한 식인 $\sum\limits_{i=1}^k a_ie^{c_it} = 0$로 돌아가면 $a_ke^{c_kt} = 0$이므로 당연히 $a_k$도 0이어야 함을 알 수 있다.
따라서 $\sum\limits_{i=1}^k a_ie^{c_it} = 0$라 가정하면 계수는 전부 0이어야 한다.
따름정리는 위에서 푼 연습문제 2(d)와 정리 2.30, 2.31, 2.32,를 활용해 알 수 있다.
$\{e^{c_1t}, e^{c_2t}, \ldots, e^{c_nt}\}$가 일차독립임은 증명했다.
정리 2.31에서는 선형미분방정식의 보조다항식이 해로 $c$을 가질 경우 해당 방정식의 해는 $e^{ct}$임을 보인다.
정리 2.30에서는 $e^{ct}$를 해로 가지는 1계 선형미분방정식의 또 다른 해가 $ke^{ct}$임을 보인다.
정리 2.32에서는 n계 미분방정식의 해공간은 $\mathbfsf{C}^{\infty}$의 n차원 부분공간임을 보인다.
이때 $\{e^{c_1t}, e^{c_2t}, \ldots, e^{c_nt}\}$는 n개의 일차독립인 집합이고 $e^{c_it} (i = 1, 2, \ldots, n)$를 포함한다.
또한 연습문제 2(d)에서 $x + y \in \mathbfsf{N}(p(\mathbfsf{D})q(\mathbfsf{D})), x \in p(\mathbfsf{D}), y \in q(\mathbfsf{D})$을 증명했으므로 위 집합이 주어진 미분방정식의 해공간의 기저임은 자명하다.