프리드버그 선형대수학 연습문제 3.1

좀 쉬어가는 챕터였다.

장 길이도 매우 짧고 연습문제도 엄밀한 증명없이 대부분 예시를 보여 증명한다.

 

4. 172쪽에 나온 다음 주장이 참임을 보여라

임의의 $n \times n$기본행렬을 얻는 방법은 적어도 두가지($I_n$에 기본행연산을 적용하거나 $I_n$에 기본열연산을 적용)가 있다.

꽤나 자명하다. 

단위행렬에서 $i$열과 $j$열을 교환하는건 $i$행과 $j$행을 교환하는 것과 동일하다.

이는 2형, 3형 연산에 대해서도 성립한다.

한가지 의문인건 "적어도"라는 표현을 사용했다는 것.

한 연산에 대해서 세가지 이상의 방법은 아무리 생각해도 없는데.

아마 기본행[열]연산을 2번 이상 적용한 기본행렬에 대해서 말하는거 같긴하다.($i$행, $j$행 적용 = $i$행, $j$열 적용 = $i$열, $j$행 적용 = $i$열, $j$열 적용)

7. 정리 3.1을 증명하라.

행렬 $A \in \mathbfsf{M}_{m \times n}(F)$에 기본행[열]연산을 하여 행렬 $B$를 얻었다면, $B = EA[B = AE]$가 되는 $m \times m[n \times n]$ 기본행렬 $E$가 존재한다. 사실, $A$에서 $B$를 얻은 기본행[열]연산을 $I_m[I_n]$에 똑같이 적용하면 행렬 $E$가 된다.
역으로 $E$가 $m \times m[n \times n]$기본행렬일 때, $I_m[I_n]$에서 $E$를 얻은 기본행[열]연산을 $A$에 똑같이 적용하면 $EA[AE]$가 된다.

너무 자명해서 어떻게 이걸 증명을 하는건가 해서 답지를 봤더니 답지에서도 단순히 $\{u_1, u_2, \ldots, u_n\$을 행으로 $\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$을 열로 가지는 임의의 행렬을 정의하고 거기에 임의의 기본행렬을 곱해서 결과행렬을 보임으로써 증명한다.

9. 임의의 1형 기본행[열]연산은 3형 기본행[열]연산을 3번 적용하고, 2형 기본행[열]연산을 적용하여 얻을 수 있음을 증명하라.

$i$행과 $j$행을 1형 기본행연산할 때

1. $i$행에 $-1$을 곱한 후 $j$행에 더한다.

2. $j$행에 $1$을 곱한 후 $i$행에 더한다.

3. $i$행에 $-1$을 곱한 후 $j$행에 더한다.

4. $j$행에 $-1$을 곱한다.