프리드버그 선형대수학 연습문제 3.2
문제에 오역이 있다.
문제 1.(b)는 "두 행렬 곱의 랭크는 두 행렬 각각의 랭크보다 작거나 같다."라고 나와있다.
이는 정리 3.7에 의하면 참이다.
하지만 답지에는 "거짓이다. 우리는 0이 아닌 두 행렬을 곱해 영행렬을 만들 수 있다."라고 나와있다.
예시조차도 문제가 참임을 보이고 있지만 거짓이라고 한다.
이에 원문의 문제를 봐보니
"The product of two matrices always has rank equal to the lesser of the ranks of the two matrices." 라고 나와있다.
번역하면 "두 행렬 곱의 랭크는 두 행렬 각각의 랭크 중 작은것과 같다."
즉, 원문에 문제에 따르면 답지가 이해된다.
영행렬의 랭크는 0이지만 0이 아닌 두행렬의 랭크는 무조건 0보다 클테니 말이다.
13. 정리 3.6의 따름정리 2(2), (3)을 증명하라.
정리 3.6 따름정리 2
(2) 임의의 행렬의 랭크는 일차독립인 행의 최대 개수와 같다. 행렬의 랭크는 그 행에 의해 생성된 부분공간의 차원이다.
(3) 임의의 행렬의 행과 열은 차원이 같은 부분공간을 생성한다. 차원은 행렬의 랭크와 같다.
정리 2.2에 의해 $\mathbfsf{R}(\mathbfsf{T}) = $span$(\mathbfsf{T}(\beta)) = $span$(\{\mathbfsf{T}(v_1), \mathbfsf{T}(v_2), \ldots, \mathbfsf{T}(v_n)\})$
이때 행렬의 랭크라 함은 rank$(\mathbfsf{L}_A)$이다.
이때 $\beta$를 표준순서기저로 잡으면 rank$(\mathbfsf{L}_A) = $span$(\{\mathbfsf{T}(e_1), \mathbfsf{T}(e_2), \ldots, \mathbfsf{T}(e_n)\})$인데
정리 2.13(2)에 의해 $\mathbfsf{L}_A(e_j) = a_j$이다.
즉, rank$(\mathbfsf{L}_A) = $span$(\{a_1, a_2, \ldots, a_n\})$이다.
이때 $a_j$는 행렬의 열인데 따름정리 2(1)에 의해 rank($A^t$) = rank($A$)이므로 위 과정을 $A^t$에서 동일하게 수행하면 행에서도 성립함이 증명된다.
따름정리 2(2)의 증명과정에서 따름정리 2(3)은 자명하게 증명된다.
15. $n$개의 행을 가지는 행렬 $A, B$를 생각하자. 임의의 $m \times n$행렬 $M$에 대하여 다음이 성립함을 보여라
$$M(A|B) = (MA|MB)$$
직접 계산해보면 위 명제가 참임을 쉽게 확인할 수 있다.
행렬곱의 $i$행 $j$열의 값은 왼쪽 행렬의 $i$행과 오른쪽 행렬의 $j$열의 내적인데, $A, B$의 열의 개수를 각각 $p, q$라 하면 행렬곱 결과의$p$열까지의 연산에는 행렬 $A$의 값만 사용되고 이후론 $B$의 값만 사용됨을 확인할 수 있다.