프리드버그 선형대수학 연습문제 4.1

12. 함수 $\delta : \mathbfsf{M}_{2\times2}(F)$가 아래의 조건을 만족한다고하자. 임의의 $A \in \mathbfsf{M}_{2\times2}(F)$에 대하여 $\delta(A) = $det$(A)$임을 증명하라.

(i) 행렬의 다른 행이 고정되어 있을 때, 행렬의 각 행에 대하여 $\delta$는 선형함수이다.
(ii) 행렬 $A \in \mathbfsf{M}_{2\times2}(F)$의 두 행이 같으면 $\delta(A) = 0$이다.
(iii) $2 \times 2$항등행렬 $I$에 대하여 $\delta(I) = 1$이다.

(i)에 의해 $\delta\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \delta\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \delta\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \delta\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \delta\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \delta\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \delta\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$이다.

이때 (ii)에 의해  $\delta\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 0 = \delta\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \delta\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$이 된다. 

최종적으로 (iii)에 의해 $\delta\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -\delta\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -1$이다

 

$A$를 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$라 두자.

위에서 얻은 결과를 활용해 (a)에서 한 절차를 비슷하게 진행하면

\begin{align*}
\delta\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} 
&= \delta\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & d \end{pmatrix} + \delta\begin{pmatrix} 0 & b \\ c & d \end{pmatrix} \\
&= a\delta\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} + b\delta\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ c & d \end{pmatrix} \\
&= a\delta\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} + a\delta\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} + b\delta\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ c & 0 \end{pmatrix} + b\delta\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & d \end{pmatrix} \\
&= ac\delta\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + ad\delta\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + bc\delta\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + bd\delta\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\
&= ad - bc = det(A)
\end{align*}