프리드버그 선형대수학 연습문제 4.2

이번 절의 연습문제는 전부 계산문제이거나 절의 정리를 제대로 읽었다면 자명하게 풀리는 문제이므로 절에 나온 몇가지 정리의 증명을 복기하겠다.

 

정리 4.3 ) $n \times n$행렬의 행렬식은 나머지 행이 고정되어 있을 때, 행렬의 각 행에 대하여 선형함수이다. 즉 $1 \leq r \leq n$인 $r$에 대하여 다음 식이 성립한다. 이때 $k$는 스칼라이고, $u, v$와 각 $a_i$는 행벡터($\in \mathbfsf{F}^n$)이다.

$$
det\begin{pmatrix}
a_1 \\ \vdots \\ a_{r-1} \\ u + kv \\ a_{r+1} \\ \vdots \\ a_n
\end{pmatrix}
=
det \begin{pmatrix}
a_1 \\ \vdots \\ a_{r-1} \\ u \\ a_{r+1} \\ \vdots \\ a_n
\end{pmatrix}
+
k \ det\begin{pmatrix}
a_1 \\ \vdots \\ a_{r-1} \\ v \\ a_{r+1} \\ \vdots \\ a_n
\end{pmatrix}
$$

 

수학적 귀납법을 사용하자.

$n = 1$일때는 자명하다.

$n \geq 2$일때 임의의 $(n-1) \times (n-1)$행렬에 대해 위 정리가 참이라 가정하자.

$n \times n$행렬 $A$의 각 행을 $a_1, a_2, \ldots, a_n$이라 할 때, 어떤 $r (1 \leq r \leq n)$와 $u = (b_1, b_2, \ldots, b_n) \in \mathbfsf{F}^n, v = (c_1, c_2, \ldots, c_n) \in \mathbfsf{F}^n$, 스칼라 k에 대하여 $a_r = u + kv$라 둔다.

이제 $A$의 $r$행을 $u, v$로 바꾼 행렬을 각각 $B, C$라 할때 det($A$) = det($B$) + $k$ det($C$)가 성립함을 보여야한다.

 

먼저 $r = 1$일 때, $\tilde{A}_{1j} = \tilde{B}_{1j} = \tilde{C}_{1j} , A_{1j} = B_{1j} + k C_{1j}$이다

이제 det($A$)를 전개해보면

det($A$) = $\sum\limits_{j = 1}^n (-1)^{1 + j}A_{1j} \cdot det(\tilde{A}_{1j})$

$=\sum\limits_{j = 1}^n (-1)^{1 + j} (B_{1j} + k C_{1j}) \cdot det(\tilde{A}_{1j})$

$=\sum\limits_{j = 1}^n (-1)^{1 + j} B_{1j} \cdot det(\tilde{A}_{1j}) + \sum\limits_{j = 1}^n (-1)^{1 + j} k C_{1j} \cdot det(\tilde{A}_{1j})$

$=\sum\limits_{j = 1}^n (-1)^{1 + j} B_{1j} \cdot det(\tilde{B}_{1j}) + k \sum\limits_{j = 1}^n (-1)^{1 + j} C_{1j} \cdot det(\tilde{C}_{1j})$

$= det(B) + k \ det(C)$이다.

 

$r \gt 1$인 경우, $A_{1j} = B_{1j} = C_{1j}$이고, 수학적 귀납법의 가정에 의해 $det(\tilde{A}_{1j}) = det(\tilde{B}_{1j}) + k \ det(\tilde{C}_{1j})$ 이다.

이제 det($A$)를 전개해보면

det($A$) = $\sum\limits_{j = 1}^n (-1)^{1 + j}A_{1j} \cdot det(\tilde{A}_{1j})$

$\sum\limits_{j = 1}^n (-1)^{1 + j}A_{1j} \cdot [det(\tilde{B}_{1j}) + k \ det(\tilde{C}_{1j})]$

$\sum\limits_{j = 1}^n (-1)^{1 + j}A_{1j} \cdot det(\tilde{B}_{1j}) + k \ \sum\limits_{j = 1}^n (-1)^{1 + j}A_{1j} \cdot det(\tilde{C}_{1j})$

$\sum\limits_{j = 1}^n (-1)^{1 + j}B_{1j} \cdot det(\tilde{B}_{1j}) + k \ \sum\limits_{j = 1}^n (-1)^{1 + j}C_{1j} \cdot det(\tilde{C}_{1j})$

$= det(B) + k \ det(C)$이다.

 

따라서 $n \times n$행렬에 대해 이 정리는 참이다.

정리 4.6 ) 행렬 $A \in \mathbfsf{M}_{n \times n}(F)$와 $A$의 한 행에 다른 행의 스칼라 배를 더하여 얻은 행렬을 $B$라 하자. 이때, det($B$) = det($A$)이다.

$A$의 임의의 행 $a_r, a_s (r \neq s)$를 잡자.

이때 $a_r$에 $a_s$의 k배를 더한 행렬을 $B$라 하자.

$B$의 $r$행은 $a_r + ka_s$가 된다.

여기서 정리 4.3을 이용해 r행을 제외한 나머지행을 고정하면 $r$행이 $a_r$인 행렬과 $ka_s$인 행렬로 나눌 수 있다.

$ka_s$인 행렬을 한번 더 나누면 $r$행이 $0$인 행렬과 $a_s$인 행으로 나눌 수 있다.

이때 $r$행이 $0$인 행렬과 $a_s$인 행은 행렬식의 값이 0이 나온다.

즉 det($B$)는 $r$행이 $a_r$인 행렬과 동일한데 이는 결국 $A$이다.

 

 

정리 4.6의 따름정리 ) 행렬 $A \in \mathbfsf{M}_{n \times n}(F)$의 랭크가 $n$ 미만이면 det($A$) = $0$이다.

행렬 $A$의 랭크가 $n$미만이면 $A$의 행들은 일차종속이다.

즉, $A$의 행들을 $a_1, a_2, \ldots, a_n$이라 하면 임의의 행렬 $a_r (1 \leq r \leq n)$에 대해 다음과 같이 표현할 수 있다.

$a_r = c_1a_1 + c_2a_2 + \ldots + c_{r-1}a_{r-1} + c_{r+1}a_{r+1} + \ldots + c_na_n$

이제 3형 기본행연산을 통해 $a_r$행에 $(1 \leq i \leq n, i \neq r)$인 모든 $i$에 대해 $-c_ia_i$을 더하면 r행을 0으로 만들 수 있다.

이때 결과로 나온 행렬을 $B$라 하면 det($B$) = 0이다.

한편 정리 4.6에 의해 3형 기본행연산은 행렬식 값을 건드리지 않으므로 det($A$) = det($B$) = $0$이다.