프리드버그 선형대수학 연습문제 4.5

4.4절은 4.2, 4.3절을 증명과정없이 간략하게 설명하는 절이므로 생략했다.

 

17.교대 $n$-선형함수 $\delta: \mathbfsf{M}_{n \times n}(F) \rightarrow F$를 생각하자. 모든 $A \in \mathbfsf{M}_{n \times n}(F)$에 대하여 $\delta(A) = k \ det(A)$인 스칼라 k가 존재함을 증명하라.

$A$가 비가역 즉, rank가 n보다 작을때 $\delta(A) = 0$이므로 성립한다.

$A$가 가역일 경우 $A = E_s \cdots E_2E_1I$로 표현할 수 있다.

이때 $\delta(EA) = det(E)\delta(A)$라 선언해보자.

$E$가 1형일 경우 $\delta(EA) = -\delta(A) = det(E)\delta(A)$이므로 성립한다.

2형일 경우 $\delta(EA) = k\delta(A) = det(E)\delta(A)$이므로 성립한다.

3형일 경우에도 역시 $\delta(EA) = \delta(A) = det(E)\delta(A)$로 성립한다.

 

이제 $\delta(A) = \delta(E_s \cdots E_2E_1I$ = det(E_s) \cdots det(E_2)det(E_1)\delta(I)$ 이다.

이때 $det(E_s) \cdots det(E_2)det(E_1) = det(A)$이고 $\delta(I)$는 교대 $n$-선형함수의 정의에 따라 특정 스칼라값으로 정해질테니 $\delta(A) = k \ det(A)$인 스칼라 k가 존재한다.