프리드버그 선형대수학 연습문제 1.5

1. 다음 명제의 참/거짓을 판정하라

(a) 집합 $S$가 일차종속이면 $S$의 모든 벡터는 ($S$의) 다른 벡터의 일차결합이다.

거짓이다.

$a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = 0$에서 $a_i$가 0이 일부 있을 경우 해당 항의 벡터는 다른 벡터의 일차결합으로 만들 수 없다.

(b) 영벡터를 포함하는 임의의 집합은 일차종속이다.

참이다.

영벡터는 영벡터의 자명한 표현을 통해 항상 다른 벡터의 일차결합으로 만들 수 있기 때문이다.

(c) 공집합은 일차종속이다.

거짓이다.

공집한은 일차독립으로 간주한다.

일차결합할 원소가 없으니 어떠한 원소도 일차결합으로 표현할 수 없기 때문이다.

(d) 일차종속인 집합의 부분집합은 일차종속이다.

거짓이다.

(a)에서 설명했듯이 일차종속인 집합에서도 다른 벡터들의 일차결합으로 표현할 수 없는 벡터들이 있다.

(e) 일차독립인 집합의 부분집합은 일차독립이다.

참이다.

일차독립이면 $a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = 0$을 영벡터의 자명한 표현을 제외하면 해가 되는 스칼라 값이 없다.

일차독립의 부분집합은 위 방정식에서 몇몇 항이 사라지는 것이므로 "영벡터의 자명한 표현을 제외하면 해가되는 스칼라 값이 없다"의 명제에 영향을 주지 않는다.

(f) $a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = 0$이고, 벡터 $x_1, x_2, ... , x_n$ 이 일차독립이면 모든 스칼라 $a_i$는 0이다.

참이다.

위 방정식은 벡터의 일차결합을 나타낸다.

위 방정식이 참이되기 위해서는 모든 스칼라가 0이거나, 두 개 이상의 항의 합이 $0$이어야 한다.  

두 번째 조건의 경우 성립할 경우 다음과 같이 좌항을 우항으로 넘겨 벡터의 일차결합을 통해 다른 벡터를 표현할 수 있음을 의미하게 된다.

$a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 = 0 \Rightarrow a_1x_1 + a_2x_2 = -a_3x_3$

이는 일차독립인 집합에서는 불가능하므로 첫 번째 조건인 모든 스칼라가 0인 경우가 아니면 스칼라가 해가 될 수 있는 경우는 없다.

 

11. 체 $Z_2$ 위에서 정의된 벡터공간 $\mathbf{V}$를 생각하자. $\mathbf{V}$의 부분집합 $S$ = {u_1, u_2, ... , u_2}은 일차독립이다. span($S$)에 속한 벡터의 개수를 구하고 근거를 설명하라.

$2^n$개다.

$S$는 일차독립이므로 벡터들의 합으로 집합 내의 다른 벡터를 나타낼 수 없다.

때문에 span($S$)에 속한 벡터의 개수는 $S$의 모든 부분집합의 개수와 동일하다.

 

15. 벡터공간 $\mathbf{V}$의 일차독립이고 서로소인 두 부분집합 $S_1, S_2$를 생각하자. $S_1 \cup S_2$가 일차종속이기 위한 필요충분조건은 span($S_1$) $\cap$ span($S_2$) $\neq$ {$0$} 임을 증명하라.

$S_1 \cup S_2$가 일차종속일 때span($S_1$) $\cap$ span($S_2$) $\neq$ {$0$} 임을 먼저 증명해 보자.

$u_1, u_2, ... , u_n \in S_1$ 와 $v_1, v_2, ... , v_m \in S_2$ 그리고 0이 아닌 스칼라 $a_1, a_2, ... , a_n$와 $b_1, b_2, ..., b_m$이 있다고 하자.

이때 $S_1 \cup S_2$가 일차종속이므로 $a_1u_1 + a_2u_2 + ... + a_nu_n + b_1v_1 + b_2v_2 + ... b_mv_m = 0$이 성립한다.

위 식에서 $S_2$의 벡터가 있는 항들을 우항으로 옮기면 $a_1u_1 + a_2u_2 + ... + a_nu_n = -1(b_1v_1 + b_2v_2 + ... b_mv_m)$가 된다.

이때 스칼라들은 0이 아니고 $S_1, S_2$는 일차독립이므로 좌항, 우항의 값은 0이 아니다. 

따라서 위 식은 $S_1$의 벡터들의 일차결합으로 $S_2$의 벡터들의 일차결합을 표현할 수 있다는 것이므로 span($S_1$) $\cap$ span($S_2$) $\neq$ {$0$} 이다.

 

반대로 span($S_1$) $\cap$ span($S_2$) $\neq$ {$0$}라고 가정해 보자.

그럼 $u_1, u_2, ... , u_n \in S_1$ 와 $v_1, v_2, ... , v_m \in S_2$ 그리고 0이 아닌 스칼라 $a_1, a_2, ... , a_n$와 $b_1, b_2, ..., b_m$에 대해 다음식이 성립한다.

$$a_1u_1 + a_2u_2 + ... + a_nu_n = b_1v_1 + b_2v_2 + ... b_mu_m = w$$

위 식의 항을 옮기면 $a_1u_1 + a_2u_2 + ... + a_nu_n - (b_1v_1 + b_2v_2 + ... b_mv_m) = 0$가 된다.  

이때 $S_1$과 $S_2$가 서로소이고(서로소가 아닐 경우 $S_1 \cap S_2$가 포함된 항의 계수가 1이고 나머지 항의 계수가 0일 경우 위 식이 자명하기 때문)

계수들이 전부 0은 아니므로(모든 계수가 0일 경우 위 식이 자명해기 때문) 위 식은 $S_1$의 벡터들의 일차 결합으로 $S_2$의 벡터들의 일차결합을 표현할 수 있다는 의미가 된다.

따라서 $S_1 \cup S_2$가 일차종속이 된다.