애옹쓰

4.4절은 4.2, 4.3절을 증명과정없이 간략하게 설명하는 절이므로 생략했다. 17.교대 $n$-선형함수 $\delta: \mathbfsf{M}_{n \times n}(F) \rightarrow F$를 생각하자. 모든 $A \in \mathbfsf{M}_{n \times n}(F)$에 대하여 $\delta(A) = k \ det(A)$인 스칼라 k가 존재함을 증명하라.$A$가 비가역 즉, rank가 n보다 작을때 $\delta(A) = 0$이므로 성립한다.$A$가 가역일 경우 $A = E_s \cdots E_2E_1I$로 표현할 수 있다.이때 $\delta(EA) = det(E)\delta(A)$라 선언해보자.$E$가 1형일 경우 $\delta(EA) = -\delta(A) = det(E)\delta(..

10. 어떤 자연수 $k$에 대하여 $M^k = O$인 행렬 $M \in \mathbfsf{M}_{n \times n}(F)$를 nilpotent matrix(멱영행렬)이라 한다. (단, $O$는 $n \times n$ 영행렬) $M$이 nilpotent이면 det($M$) = $O$임을 증명하라.정리 4.7에서 행렬식은 곱을 보존함을 보였다.따라서 det($M^k$) = det($M \cdot M \cdot M \cdot \ldots \cdot M$) = det($M$) $\cdot$ det($M$) $\cdot \ldots \cdot$ det($M$)이다.이때 det($M^k$) = 0이니 det($M$)은 0이어야한다. 14. 서로 다른 $n$개의 벡터로 이루어진 집합 $\beta \{u_1, u_..

이번 절의 연습문제는 전부 계산문제이거나 절의 정리를 제대로 읽었다면 자명하게 풀리는 문제이므로 절에 나온 몇가지 정리의 증명을 복기하겠다. 정리 4.3 ) $n \times n$행렬의 행렬식은 나머지 행이 고정되어 있을 때, 행렬의 각 행에 대하여 선형함수이다. 즉 $1 \leq r \leq n$인 $r$에 대하여 다음 식이 성립한다. 이때 $k$는 스칼라이고, $u, v$와 각 $a_i$는 행벡터($\in \mathbfsf{F}^n$)이다.$$det\begin{pmatrix}a_1 \\ \vdots \\ a_{r-1} \\ u + kv \\ a_{r+1} \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}=det \begin{pmatrix}a_1 \\ \vdots \\ a_{r-1} \\ u \\ ..

12. 함수 $\delta : \mathbfsf{M}_{2\times2}(F)$가 아래의 조건을 만족한다고하자. 임의의 $A \in \mathbfsf{M}_{2\times2}(F)$에 대하여 $\delta(A) = $det$(A)$임을 증명하라.(i) 행렬의 다른 행이 고정되어 있을 때, 행렬의 각 행에 대하여 $\delta$는 선형함수이다.(ii) 행렬 $A \in \mathbfsf{M}_{2\times2}(F)$의 두 행이 같으면 $\delta(A) = 0$이다.(iii) $2 \times 2$항등행렬 $I$에 대하여 $\delta(I) = 1$이다.(i)에 의해 $\delta\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \delta\begin{pmatrix} 1..