애옹쓰

프리드버그 선형대수학 연습문제 4.5

4.4절은 4.2, 4.3절을 증명과정없이 간략하게 설명하는 절이므로 생략했다. 17.교대 $n$-선형함수 $\delta: \mathbfsf{M}_{n \times n}(F) \rightarrow F$를 생각하자. 모든 $A \in \mathbfsf{M}_{n \times n}(F)$에 대하여 $\delta(A) = k \ det(A)$인 스칼라 k가 존재함을 증명하라.$A$가 비가역 즉, rank가 n보다 작을때 $\delta(A) = 0$이므로 성립한다.$A$가 가역일 경우 $A = E_s \cdots E_2E_1I$로 표현할 수 있다.이때 $\delta(EA) = det(E)\delta(A)$라 선언해보자.$E$가 1형일 경우 $\delta(EA) = -\delta(A) = det(E)\delta(..

10. 어떤 자연수 $k$에 대하여 $M^k = O$인 행렬 $M \in \mathbfsf{M}_{n \times n}(F)$를 nilpotent matrix(멱영행렬)이라 한다. (단, $O$는 $n \times n$ 영행렬) $M$이 nilpotent이면 det($M$) = $O$임을 증명하라.정리 4.7에서 행렬식은 곱을 보존함을 보였다.따라서 det($M^k$) = det($M \cdot M \cdot M \cdot \ldots \cdot M$) = det($M$) $\cdot$ det($M$) $\cdot \ldots \cdot$ det($M$)이다.이때 det($M^k$) = 0이니 det($M$)은 0이어야한다. 14. 서로 다른 $n$개의 벡터로 이루어진 집합 $\beta \{u_1, u_..

3. 연립일차방정식 $Ax = b$의 첨가행렬에 기본행연산을 유한 번 적용하여 행간소사다리꼴 ($A` | b`$)을 얻었다고 하자. 다음 명제가 참임을 보여라.(a) rank($A'$) $\neq$ rank($A' | b'$)이기 위한 필요충분조건은 ($A' | b'$)이 0이 아닌 유일한 성분이 마지막 열에 있는 행을 가지는 것이다.$A'$는 행간소사다리꼴이기 때문에 rank($A'$)는 $A'$의 0이 아닌 행의 개수이다.(기본행연산은 rank에 영향을 주지 않으므로)그리고 이는 ($A' | b'$)에 대해서도 동일하다.이때 rank($A'$) $\neq$ rank($A' | b'$)라 가정하면 ($A' | b'$)에는 $A'$에 비해 0이 아닌 행이 더 존재한다는 것이다.즉 ($A' | b'$)에는..

연습문제에 또 번역오류가 있다.1.(g)는 "$n$개의 미지수와 $n$개의 일차방정식으로 이루어진 동차 연립일차방정식의 계수행렬이 가역이면 이 연립일차방정식은 영벡터가 아닌 해가 있다."라는 명제의 참 거짓을 판정하는 문제인데, 답으로 Yes. If $Ax = 0$ then we know $x = A^{-1}0 = 0$라 나와있다.위 명제는 참도 아닐뿐더러 예시또한 그것을 증명해주고 있다.이에 원문을 봐보니 "If the coefficient matrix of a homogeneous system of n linear equa tions ni n unknowns si invertible, then the system has no nonzero solutions." 즉, "$n$개의 미지수와 $n$개의 일..

문제에 오역이 있다. 문제 1.(b)는 "두 행렬 곱의 랭크는 두 행렬 각각의 랭크보다 작거나 같다."라고 나와있다.이는 정리 3.7에 의하면 참이다.하지만 답지에는 "거짓이다. 우리는 0이 아닌 두 행렬을 곱해 영행렬을 만들 수 있다."라고 나와있다.예시조차도 문제가 참임을 보이고 있지만 거짓이라고 한다.이에 원문의 문제를 봐보니 "The product of two matrices always has rank equal to the lesser of the ranks of the two matrices." 라고 나와있다.번역하면 "두 행렬 곱의 랭크는 두 행렬 각각의 랭크 중 작은것과 같다."즉, 원문에 문제에 따르면 답지가 이해된다.영행렬의 랭크는 0이지만 0이 아닌 두행렬의 랭크는 무조건 0보다 클..

좀 쉬어가는 챕터였다.장 길이도 매우 짧고 연습문제도 엄밀한 증명없이 대부분 예시를 보여 증명한다. 4. 172쪽에 나온 다음 주장이 참임을 보여라임의의 $n \times n$기본행렬을 얻는 방법은 적어도 두가지($I_n$에 기본행연산을 적용하거나 $I_n$에 기본열연산을 적용)가 있다.꽤나 자명하다. 단위행렬에서 $i$열과 $j$열을 교환하는건 $i$행과 $j$행을 교환하는 것과 동일하다.이는 2형, 3형 연산에 대해서도 성립한다.한가지 의문인건 "적어도"라는 표현을 사용했다는 것.한 연산에 대해서 세가지 이상의 방법은 아무리 생각해도 없는데.아마 기본행[열]연산을 2번 이상 적용한 기본행렬에 대해서 말하는거 같긴하다.($i$행, $j$행 적용 = $i$행, $j$열 적용 = $i$열, $j$행 적용 ..

2. 다음 명제의 참-거짓을 판정하라. 명제가 참이면 증명하고, 거짓이면 반례를 제시하라.(a) $\mathbfsf{C}^{\infty}$의 모든 유한차원 부분공간은 계수가 상수인 동차 선형 미분방정식의 해공간이다.헷갈렸던 게 $y = 0$은 미분이 되는 함수이다. (당연한 거 아니냐 할 수 있는데 나도 당연히 연속가능하고 좌미분과 우미분이 같고.. 하는 개념은 알지만 $y = 0$도 미분이 되는 거로 치면 사실상 대부분이 무한번 미분이 되는 함수가 아니냐 생각했다는 변명)즉 $y = t$는 $\mathbfsf{C}^{\infty}$에 속한다.그러면 $y = t$가 만드는 부분공간을 생각하자.이 공간은 유일하게 $0y = 0$라는 미분방정식의 해이다.하지만 $0y = 0$의 해공간은 $\mathbfsf{..

6. 선형범함수 $\mathbfsf{f} \in (\mathbfsf{R}^2)$를 $\mathbfsf{f}(x, y) = 2x + y$, 선형변환 $\mathbfsf{T}: \mathbfsf{R}^2 \rightarrow \mathbfsf{R}^2$을 $\mathbfsf{T}(x, y) = (3x + 2y, x)$라 정의하자. 다음 물음에 답하라.(a) $\mathbfsf{T}^t(f)$를 구하라.정리 2.25에 나와있는 $\mathbfsf{T}^t$의 정의에 따라 계산하면 $7x + 4y$가 나온다.(b) $\mathbfsf{R}^2$의 표준 순서기저를 $\beta$, 쌍대기저를 $\beta* = \{\mathbfsf{f}_1, \mathbfsf{f}_2 \}$ 라 하자. $\mathbfsf{T}^t(..

4. $\textbf{R}^2$의 선형연산자 $\textbf{T}$를 $\textbf{T} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + b \\ a - 3b \end{pmatrix}$, $\textbf{R}^2$의 표준 순서기저를 $\beta$라 정의하고 $\beta ' = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}$라 하자. 정리 2.23과 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2  \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$을..

9. $A, B$가 $n \times n$ 행렬이고 $AB$는 가역이라 하자. 이때 $A, B$ 모두 가역임을 증명하라.이전 장의 내용을 잘 숙지하고 연습문제를 제대로 풀었으면 쉽게 해결할 수 있다.문재의 힌트에 나와있듯이 2.3.12에서 만약 선형변환 $UT$가 단사라면 $T$단사이고 $UT$가 전사이면 $U$가 전사임을 증명했다.이를 이번문제에 적용하면 $AB$가 가역이므로 $L_AB$도 가역이다. $L_AB = L_AL_B$이므로, $L_A$는 전사이고 $L_B$는 전사임을 알 수 있다.이때 $A, B$의 정의역과 공역의 차원이 같으므로 정리 2.5에 의해 "선형변환이 전사이다"와 "선형변환이 단사이다" 라는 명제는 동치임을 알 수 있다. 따라서 $A, B$는 모두 전단사 함수이므로 가역이다. 15..