프리드버그 선형대수학 연습문제 3.3

연습문제에 또 번역오류가 있다.

1.(g)는 "$n$개의 미지수와 $n$개의 일차방정식으로 이루어진 동차 연립일차방정식의 계수행렬이 가역이면 이 연립일차방정식은 영벡터가 아닌 해가 있다."라는 명제의 참 거짓을 판정하는 문제인데, 답으로 Yes. If $Ax = 0$ then we know $x = A^{-1}0 = 0$라 나와있다.

위 명제는 참도 아닐뿐더러 예시또한 그것을 증명해주고 있다.

이에 원문을 봐보니 "If the coefficient matrix of a homogeneous system of n linear equa tions ni n unknowns si invertible, then the system has no nonzero solutions." 즉, "$n$개의 미지수와 $n$개의 일차방정식으로 이루어진 동차 연립일차방정식의 계수행렬이 가역이면 이 연립일차방정식은 영벡터가 아닌 해가 없다."라고 해석된다.

또한 정리 3.8에 의해 $n$개의 미지수와 $m$개의 일차방정식으로 이루어진 동차 연립일차방정식의 해공간의 차원은 $n - rank(A)$이므로 번역본에 있는 명제는 거짓이 맞다.

 

10. 다음 명제를 증명하거나 반례를 제시하라.

$n$개의 미지수와 $m$개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식의 계수행렬의 랭크가 $m$이면 주어진 연립일차방정식은 해가 있다.

처음에는 $m$이 $n$보다 크면 해가 없을 수 있으니 거짓이라 생각했다.

하지만 문제에서 계수행렬의 랭크가 $m$이라 했으니 이미 $n \geq m$임을 함의하고 있다.

그렇게 되면 $\mathbfsf{R}(\mathbfsf{L}_A)$의 차원이 $m$이 되고 이에 속하는 임의의 벡터$b$를 잡으면 $Ax = b$의 해가 있게 된다.

 

근데 내가 이해를 못한건지 문제가 이상한건지 $b \notin \mathbfsf{R}(\mathbfsf{L}_A)$로 잡으면 이 연립일차방정식은 해가 없는거 아닌가?

라는 바보같은 생각을 했었는데 $b$의 차원은 $m$이므로 그건 불가능하다.