프리드버그 선형대수학 연습문제 3.4

3. 연립일차방정식 $Ax = b$의 첨가행렬에 기본행연산을 유한 번 적용하여 행간소사다리꼴 ($A` | b`$)을 얻었다고 하자. 다음 명제가 참임을 보여라.

(a) rank($A'$) $\neq$ rank($A' | b'$)이기 위한 필요충분조건은 ($A' | b'$)이 0이 아닌 유일한 성분이 마지막 열에 있는 행을 가지는 것이다.

$A'$는 행간소사다리꼴이기 때문에 rank($A'$)는 $A'$의 0이 아닌 행의 개수이다.(기본행연산은 rank에 영향을 주지 않으므로)

그리고 이는 ($A' | b'$)에 대해서도 동일하다.

이때 rank($A'$) $\neq$ rank($A' | b'$)라 가정하면 ($A' | b'$)에는 $A'$에 비해 0이 아닌 행이 더 존재한다는 것이다.

즉 ($A' | b'$)에는 0이 아닌 유일한 성분이 마지막 열에 존재한다는 것이다.

 

반대로 ($A' | b'$)에는 0이 아닌 유일한 성분이 마지막 열에 존재한다 가정하면, $A'$는 ($A' | b'$)에서 0이아닌 행이 몇개(실제로는 행간소사다리꼴의 정의상 하나밖에 없을 것이다.)사라진다는 것이고 rank가 달라짐은 당연하다.

(b) $Ax = b$에 모순이 없기 위한 필요충분조건은 ($A' | b'$)이 0이 아닌 유일한 성분이 마지막 열에 있는 행을 가지지 않는 것이다.

정리 3.11에 의해 연립일차방정식 $Ax = b$에 모순이 없으려면 rank($A$) = rank($A|b$)이어야한다.

하지만 위에서 알아봤듯이 ($A' | b'$)이 0이 아닌 유일한 성분이 마지막 열에 있는 행을 가지고 있으면 ($A'$)과 rank가 달라진다.

 

15. 행렬의 행간소사다리꼴은 유일하다. 를 증명해라.

$m \times 1$행렬이 있다 가정하자 이 행렬의 행간소사다리꼴은 두가지로 나뉜다.

행렬이 일차독립일 경우 행간소사다리꼴은 pivotal column(기약행사다리꼴에서 각 행마다 처음으로 0이아닌 원소를 가지는 열)이 된다.

만약 일차종속일 경우 영행렬 인것이므로 행간소사다리꼴도 영행렬이 된다.

 

이제 수학적 귀납법으로 $A'$의 행간소사다리꼴 $R'$이 유일할때 $A = (A | u_r)$의 행간소사다리꼴 $R = RREF(A | u_r) = (R | b)$이 유일함을 보이자.

이때도 두 경우로 나뉜다.

$A$가 일차독립일 경우 $b$는 새로운 pivotal column이 되어 $R$은 $(R' | e_r)$꼴이 된다.

만약 일차종속일 경우 $b$는 {$d_1, d_2, \ldots, d_{r-1}, 0, \ldots, 0$}꼴이 된다.

그리고 정리3.16(4)에 의해 $u_r$은 $A'$의 일차독립인 부분집합 $\{a_{j_1}, a_{j_2}, \ldots, a_{j_{r-1}}\}$의 유일한 선형결합 표현인 $d_1a_{j_1} + d_2a_{j_2} + \cdots + d_{r-1}a_{j_{r-1}}$으로 표현된다.