애옹쓰

6. 선형범함수 $\mathbfsf{f} \in (\mathbfsf{R}^2)$를 $\mathbfsf{f}(x, y) = 2x + y$, 선형변환 $\mathbfsf{T}: \mathbfsf{R}^2 \rightarrow \mathbfsf{R}^2$을 $\mathbfsf{T}(x, y) = (3x + 2y, x)$라 정의하자. 다음 물음에 답하라.(a) $\mathbfsf{T}^t(f)$를 구하라.정리 2.25에 나와있는 $\mathbfsf{T}^t$의 정의에 따라 계산하면 $7x + 4y$가 나온다.(b) $\mathbfsf{R}^2$의 표준 순서기저를 $\beta$, 쌍대기저를 $\beta* = \{\mathbfsf{f}_1, \mathbfsf{f}_2 \}$ 라 하자. $\mathbfsf{T}^t(..

4. $\textbf{R}^2$의 선형연산자 $\textbf{T}$를 $\textbf{T} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + b \\ a - 3b \end{pmatrix}$, $\textbf{R}^2$의 표준 순서기저를 $\beta$라 정의하고 $\beta ' = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}$라 하자. 정리 2.23과 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2  \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$을..

9. $A, B$가 $n \times n$ 행렬이고 $AB$는 가역이라 하자. 이때 $A, B$ 모두 가역임을 증명하라.이전 장의 내용을 잘 숙지하고 연습문제를 제대로 풀었으면 쉽게 해결할 수 있다.문재의 힌트에 나와있듯이 2.3.12에서 만약 선형변환 $UT$가 단사라면 $T$단사이고 $UT$가 전사이면 $U$가 전사임을 증명했다.이를 이번문제에 적용하면 $AB$가 가역이므로 $L_AB$도 가역이다. $L_AB = L_AL_B$이므로, $L_A$는 전사이고 $L_B$는 전사임을 알 수 있다.이때 $A, B$의 정의역과 공역의 차원이 같으므로 정리 2.5에 의해 "선형변환이 전사이다"와 "선형변환이 단사이다" 라는 명제는 동치임을 알 수 있다. 따라서 $A, B$는 모두 전단사 함수이므로 가역이다. 15..

5. 정리 2.12와 정리 2.12의 따름정리의 증명을 각각 완성하라.정리 2.12$A$가 $m X n$ 행랼, $B$와 $C$가 $n \times p$ 행렬, $D$와 $E$가 $q \times m$ 행렬일 때, 다음이 성립한다.(1) $A(B + C) = AB + AC, (D + E)A = DA + EA$(2) 임의의 스칼라 $a$에 대하여 $a(AB) = (aA)B = A(aB)$(3) $I_mA = A = AI_n$(Corollary) $m \times n$ 행렬 $A$와 $n \times p$ 행렬 $B_1, B_2, ..., B_k, q \times m$행렬 $C_1, C_2, ..., C_k,$ 스칼라 $a_1, a_2, ..., a_k$에 대하여 다음이 성립한다.$$A(\sum\limits..