프리드버그 선형대수학 연습문제 2.6

6. 선형범함수 $\mathbfsf{f} \in (\mathbfsf{R}^2)$를 $\mathbfsf{f}(x, y) = 2x + y$, 선형변환 $\mathbfsf{T}: \mathbfsf{R}^2 \rightarrow \mathbfsf{R}^2$을 $\mathbfsf{T}(x, y) = (3x + 2y, x)$라 정의하자. 다음 물음에 답하라.

(a) $\mathbfsf{T}^t(f)$를 구하라.

정리 2.25에 나와있는 $\mathbfsf{T}^t$의 정의에 따라 계산하면 $7x + 4y$가 나온다.

(b) $\mathbfsf{R}^2$의 표준 순서기저를 $\beta$, 쌍대기저를 $\beta* = \{\mathbfsf{f}_1, \mathbfsf{f}_2 \}$ 라 하자. $\mathbfsf{T}^t(f_1) = a\mathbfsf{f}_1 + c\mathbfsf{f}_2, \mathbfsf{T}^t(\mathbfsf{f}_2) = b\mathbfsf{f}_1 + d\mathbfsf{f}_2$를 만족하는 $a, b, c, d$를 찾는 방식으로 $[\mathbfsf{T}^t]_{\beta*}$를 구하라.

$\beta$가 표준 순서기저이므로 $\mathbfsf{f}_1(x, y) = x$이고 $\mathbfsf{f}_2(x, y) = y$이다.

이제 계산해보면 $\mathbfsf{T}^t(\mathbfsf{f}_1)(x, y) = \mathbfsf{f}_1\mathbfsf{T}(x, y) = \mathbfsf{f}_1(3x + 2y, x) = 3x + 2y = 3\mathbfsf{f}_1(x, y) + 2\mathbfsf{f}_2(x, y)$ 이므로 a, c는 3, 2이고 같은 방법으로 b, d는 1, 0임을 구할 수 있다.

따라서 $[\mathbfsf{T}^t]_{\beta*} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ 이다.

(c) $[\mathbfsf{T}]_\beta$와 $([\mathbfsf{T}]_\beta)^t$를 구하고, $(b)$의 결과와 비교하라.

계산해보면 $[\mathbfsf{T}]_\beta = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 이다.

이의 전치행렬은 (b)에서 구한 행렬과 동일하다.