프리드버그 선형대수학 연습문제 2.5

4. $\textbf{R}^2$의 선형연산자 $\textbf{T}$를 $\textbf{T} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + b \\ a - 3b \end{pmatrix}$, $\textbf{R}^2$의 표준 순서기저를 $\beta$라 정의하고 $\beta ' = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}$라 하자. 정리 2.23과 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2  \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$을 이용하여 $[\textbf{T}]_{\beta'}$을 구하라.

문제에서 답을 다 알려준다.

$\beta$가 표준 기저이므로 $Q: \beta' \rightarrow \beta$는 $\beta'$의 기저와 동일하다.

$[T]_{\beta}$ 또한 구하기 어렵지 않다.

계산해보면 $[T]_{\beta}$는 $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$가 나온다.

이제 정리 2.23을 이용해 $Q^{-1}[T]_{\beta}Q$를 계산해 보면 $\begin{pmatrix} 8 & 13 \\ -5 & -9 \end{pmatrix}$가 나옴을 알 수 있다.

답지에는 $\begin{pmatrix} 8 & 13 \\ -5 & 9 \end{pmatrix}$라고 나와있는데, 계산해 보면 $-9$가 맞다.

 

7. $\textbf{R}^2$에 직선 $L : y = mx (m \neq 0)$가 있다. 다음을 만족하는 $\textbf{T}(x, y)$의 표현식을 찾아라.

(a) $\textbf{T}$는 $\textbf{R}^2$에서 직선 $L$에 대한 대칭

이번 절의 예제에서도 다뤘던 문제이다.

정리 2.23을 조금 변형해서 이 문제의 답을 구할 수 있는데, 정리 2.23은 $[\textbf{T}]_{\beta'} = Q^{-1}[\textbf{T}]_{\beta}Q$이다.

하지만 이 문제에서 우리가 구하는 건 $[\textbf{T}]_{beta'}$가 아니라 $[\textbf{T}]_{beta}$이다.

따라서 위 식을 $Q[\textbf{T}]_{\beta'}Q^{-1} = [\textbf{T}]_{\beta}$로 변형해야 한다.

 

이제 계산을 해보자 $L$위의 점 하나와 $L$에 수직인 직선 위의 점 하나를 기저로 하면 새로운 기저 $\beta' = \{(1, m), (1, -\frac{1}{m})\}$가 나온다.

그리고 이 새로운 기저의 좌표계에서 $\textbf{T}$는 단순히 y좌표의 부호를 역전시킨다.

따라서 $[\textbf{T}]_{\beta'}$는 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$이다.

$Q = [I]_{\beta'}^{\beta}$는 새로운 기저 $\begin{pmatrix} 1 & m \\ 1 & -\frac{1}{m} \end{pmatrix}$이다.

$Q^{-1}$은 계산해 보면 $\begin{pmatrix} \frac{1}{1 + m^2} & \frac{m}{1 + m^2} \\ \frac{m^2}{1 + m^2} & -\frac{m}{1 + m^2} \end{pmatrix}$이 나온다.

이를 정리 2.23을 변형한 식에 대입해 계산해 보면 $[\textbf{T}]_{\beta} = \begin{pmatrix} \frac{1 - m^2}{1 + m^2} & \frac{2m}{1 + m^2} \\ \frac{2m}{1 + m^2} & -\frac{m}{m^2 - 1} \end{pmatrix}$이 나온다.

마지막으로 이 행렬에 $(x, y)$를 입력하면 $\textbf{T}(x, y)$의 표현식은 $(\frac{(1 - m^2)x + 2my}{m^2 + 1}, \frac{2mx + (m^2 - 1)y}{m^2 + 1})$이 나온다.

(b) $\textbf{T}$는 $L$에 수직인 직선의 $L$ 위로의 사영

$[T]_{\beta'} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$으로 두고 위에서 한 절차를 동일하게 하면 된다.

 

8. 정리 2.23을 일반화한 다음 정리를 증명하라.

유한차원 벡터공간 $\textbf{V}, \textbf{W}$와 선형변환 $\textbf{T}: \textbf{V} \rightarrow \textbf{W}$, $\textbf{V}$의 두 순서기저 $\beta, \beta'$, $\textbf{W}$의 두 순서기저 $\gamma, \gamma'$에 대하여 다음을 만족한다.
$$[\textbf{T}]_{\beta'}^{\gamma'} = P^{-1}[\textbf{T}]_{\beta}^{\gamma}Q$$
이때, $Q$는 $\beta'$좌표를 $\beta$좌표로 변환하는 행렬, $P$는 $\gamma'$ 좌표를 $\gamma$좌표로 변환하는 행렬이다.

정리 2.23의 증명과 크게 다르지 않다.

$P^{-1}$는 $[I]_{\gamma}^{\gamma'}$이고 $Q$는 $[I]_{\beta'}^{\beta}$이다.

따라서 $[\textbf{T}]_{\beta'}^{\gamma'} = [I]_{\gamma}^{\gamma'}[\textbf{T}]_{\beta}^{\gamma}[I]_{\beta'}^{\beta}$이고 정리 2.11에 의해 $[UT]_\alpha^\gamma = [U]_\beta^\gamma[T]_\alpha^\beta$이므로 위 식은 참이다.

 

10. 서로 닮음인 두 개의 $n \times n$ 행렬 $A, B$에 대하여 tr($A$) = tr($B$) 임을 증명하라.

2.3.13에서 $n \times n$행렬 $A, B$에 대하여 tr($AB$) = tr($BA$) 임을 보였다.

$A, B$는 닮음 이므로 $A = Q^{-1}BQ$이다.

즉 tr($A$) = tr($Q^{-1}BQ$) = tr($(Q^{-1}B)Q$) = tr($Q(Q^{-1}B)$) = tr($B$) 이다.