5. 정리 2.12와 정리 2.12의 따름정리의 증명을 각각 완성하라.
정리 2.12
$A$가 $m X n$ 행랼, $B$와 $C$가 $n \times p$ 행렬, $D$와 $E$가 $q \times m$ 행렬일 때, 다음이 성립한다.
(1) $A(B + C) = AB + AC, (D + E)A = DA + EA$
(2) 임의의 스칼라 $a$에 대하여 $a(AB) = (aA)B = A(aB)$
(3) $I_mA = A = AI_n$
(Corollary) $m \times n$ 행렬 $A$와 $n \times p$ 행렬 $B_1, B_2, ..., B_k, q \times m$행렬 $C_1, C_2, ..., C_k,$ 스칼라 $a_1, a_2, ..., a_k$에 대하여 다음이 성립한다.
$$A(\sum\limits_{i=1}^k a_iB_i) = \sum\limits_{a_i}^k a_iAB_i, \quad\quad (\sum\limits_{i=1}^k a_iC_i)A = \sum\limits_{i=1}^k a_iC_iA$$
(1)
첫번째 식은 책에서 이미 증명되어 있다. 따라서 여기선 두번째 식만 성립함을 증명해보이자.
$[(D+E)A]_{ij} = DA_{ij} + EA_{ij}$임을 보이자.
$\sum\limits_{k=1}^m (D+E)_{ik}A_{kj}$
$=\sum\limits_{k=1}^m (D_{ik} + E_{ik})A_{kj}$
$=\sum\limits_{k=1}^m D_{ik}A_{kj} + E_{ik}A_{kj}$
$=\sum\limits_{k=1}^m D_{ik}A_{kj} + \sum\limits_{k=1}^m E_{ik}A_{kj}$
$=DA_{ij} + EA_{ij}$
(2)
간단하다.
$(a(AB))_{ij} = a\sum\limits_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$
a는 상수이니 $\sum$안으로 넣을 수 있다.
$= \sum\limits_{k=1}^n aA_{ik}B_{kj} = ((aA)B)_{ij}$
$= \sum\limits_{k=1}^n A_{ik}aB_{kj} = (A(aB))_{ij}$
(3)
이 또한 간단하다.
$(AI_n)_{ij}$
$= \sum\limits_{k=1}^m A_{ik}(I_n)_{kj}$
$= \sum\limits_{k=1}^n A_{ik}\delta _{kj}$
$= A_{ij}$
(Corollary)
따름정리이므로 위에서 증명한 식으로 증명가능하다.
$A(\sum\limits_{i=1}^k a_iB_i)$
2.12(1)에 의해
$= \sum\limits_{i=1}^k A(a_iB_i)$ 이 성립하고
2.12.(2)에 의해
$= \sum\limits_{i=1}^k a_iAB_i$ 이 성립한다.
두번째 식도 같은 방법으로 증명가능하다.
6. 정리 2.13(2)를 증명하라.
정리 2.13
$m \times n$ 행렬 $A$와 $n \times p$ 행렬 $B$를 생각하자. $j = 1, 2, ..., p$인 $j$에 대하여 $AB$의 $j$열을 $u_j, B$의 $j$열을 각각 $v_j$라 표기하면 다음이 성립한다.
(1) $u_j = Av_j$
(2) $v_j = Be_j$ (이때, $e_j$는 $\mathbf{F}^p$의 $j$번째 표준 벡터)
(2)
$(Be_j)_i$
$= \sum\limits_{k=1}^p B_{ik}(e_j)_k$
$(e_j)_k$는 $j = k$일때 1이고 이 외에 경우 0이므로
$= B_{ij}$이다.
따라서 $Be_j = (B_{1j}, B_{2j}, \ldots, B_{ij})$ 이므로 B의 j열과 동일하다.
14. 이 문제에서는 정리 2.13에서 사용한 표기법을 그대로 사용한다. 다음 물음에 답하라.
(a) $z$는 $\mathbf{F}^p$의 열벡터이다. 정리 2.13(2)를 사용하여 $ Bz$는 $B$의 열벡터의 일차결합임을 증명하라.
특히, $z = (a_1, a_2, ..., a_p)^t$ 에 대하여 $Bz = \sum\limits_{j=1}^p a_jv_j$임을 보여라.
$ Bz =
\left( \begin{array}{l}
\sum\limits_{j=1}^p a_j B_{1j} \\
\sum\limits_{j=1}^p a_j B_{2j} \\
\vdots \\
\sum\limits_{j=1}^p a_j B_{nj}
\end{array} \right) $
$= \sum\limits_{j=1}^p a_j \begin{pmatrix} B_{1j} \\ B_{2j} \\ \vdots \\ B_{nj} \end{pmatrix}$ = $\sum\limits_{j=1}^p a_jv_j$
$B$의 열벡터의 일차결합으로 $Bz$를 표현할 수 있단거는 $B$를 통해 선형변환된 벡터의 기저는 $B$의 열벡터들이라는 뜻일까?
(b) (a)의 결과를 확장하여 $AB$의 $j$열은 $A$의 열벡터의 일차결합이고 계수는 $B$의 $j$열에서 가져온 것임을 보여라.
2.13(1)에 의해 $AB$의 $j$열은 $Av_j$이다.
따라서
$u_j =
\left( \begin{array}{l}
\sum\limits_{k=1}^n A_{1k} B_{kj} \\
\sum\limits_{k=1}^n A_{2k} B_{kj} \\
\vdots \\
\sum\limits_{k=1}^n A_{mk} B_{kj}
\end{array} \right) $
$=
\sum\limits_{k=1}^n B_{kj}
\left( \begin{array}{l}
A_{1k} \\
A_{2k} \\
\vdots \\
A_{mk}
\end{array} \right) $
가 된다.
즉, $AB$의 $j$열은 $A$의 열벡터의 일차결합이고 그 계수는 $B$의 $j$번째 열벡터이다.
$A$의 $j$ 열을 $w_j$라 하면 $u_j = B_{1j}w_1 + B_{2j}w_2 + \ldots + B_{nj}w_n$인 것이다.
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