프리드버그 선형대수학 연습문제 2.3

5. 정리 2.12와 정리 2.12의 따름정리의 증명을 각각 완성하라.

정리 2.12
$A$가 $m X n$ 행랼, $B$와 $C$가 $n \times p$ 행렬, $D$와 $E$가 $q \times m$ 행렬일 때, 다음이 성립한다.
(1) $A(B + C) = AB + AC, (D + E)A = DA + EA$
(2) 임의의 스칼라 $a$에 대하여 $a(AB) = (aA)B = A(aB)$
(3) $I_mA = A = AI_n$
(Corollary) $m \times n$ 행렬 $A$와 $n \times p$ 행렬 $B_1, B_2, ..., B_k, q \times m$행렬 $C_1, C_2, ..., C_k,$ 스칼라 $a_1, a_2, ..., a_k$에 대하여 다음이 성립한다.
$$A(\sum\limits_{i=1}^k a_iB_i) = \sum\limits_{a_i}^k a_iAB_i, \quad\quad (\sum\limits_{i=1}^k a_iC_i)A = \sum\limits_{i=1}^k a_iC_iA$$

 

(1)

첫번째 식은 책에서 이미 증명되어 있다. 따라서 여기선 두번째 식만 성립함을 증명해보이자.

$[(D+E)A]_{ij} = DA_{ij} + EA_{ij}$임을 보이자.

$\sum\limits_{k=1}^m (D+E)_{ik}A_{kj}$

$=\sum\limits_{k=1}^m (D_{ik} + E_{ik})A_{kj}$

$=\sum\limits_{k=1}^m D_{ik}A_{kj} + E_{ik}A_{kj}$

$=\sum\limits_{k=1}^m D_{ik}A_{kj} + \sum\limits_{k=1}^m E_{ik}A_{kj}$

$=DA_{ij} + EA_{ij}$

 

(2)

간단하다.

$(a(AB))_{ij} = a\sum\limits_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$

a는 상수이니 $\sum$안으로 넣을 수 있다.

$= \sum\limits_{k=1}^n aA_{ik}B_{kj} = ((aA)B)_{ij}$

$= \sum\limits_{k=1}^n A_{ik}aB_{kj} = (A(aB))_{ij}$

 

(3)

이 또한 간단하다.

$(AI_n)_{ij}$

$= \sum\limits_{k=1}^m A_{ik}(I_n)_{kj}$

$= \sum\limits_{k=1}^n A_{ik}\delta _{kj}$

$= A_{ij}$

 

(Corollary)

따름정리이므로 위에서 증명한 식으로 증명가능하다.

$A(\sum\limits_{i=1}^k a_iB_i)$

2.12(1)에 의해

$= \sum\limits_{i=1}^k A(a_iB_i)$ 이 성립하고

2.12.(2)에 의해

$= \sum\limits_{i=1}^k a_iAB_i$ 이 성립한다.

 

두번째 식도 같은 방법으로 증명가능하다.

6. 정리 2.13(2)를 증명하라.

정리 2.13
$m \times n$ 행렬 $A$와 $n \times p$ 행렬 $B$를 생각하자. $j = 1, 2, ..., p$인 $j$에 대하여 $AB$의 $j$열을 $u_j, B$의 $j$열을 각각 $v_j$라 표기하면 다음이 성립한다.
(1) $u_j = Av_j$
(2) $v_j = Be_j$ (이때, $e_j$는 $\mathbf{F}^p$의 $j$번째 표준 벡터)

 

(2)

$(Be_j)_i$

$= \sum\limits_{k=1}^p B_{ik}(e_j)_k$

$(e_j)_k$는 $j = k$일때 1이고 이 외에 경우 0이므로

$= B_{ij}$이다.

따라서 $Be_j = (B_{1j}, B_{2j}, \ldots, B_{ij})$ 이므로 B의 j열과 동일하다.

14. 이 문제에서는 정리 2.13에서 사용한 표기법을 그대로 사용한다. 다음 물음에 답하라.

(a) $z$는 $\mathbf{F}^p$의 열벡터이다. 정리 2.13(2)를 사용하여 $ Bz$는 $B$의 열벡터의 일차결합임을 증명하라.
특히, $z = (a_1, a_2, ..., a_p)^t$ 에 대하여 $Bz = \sum\limits_{j=1}^p a_jv_j$임을 보여라.

$ Bz =
\left( \begin{array}{l} 
    \sum\limits_{j=1}^p a_j B_{1j} \\ 
    \sum\limits_{j=1}^p a_j B_{2j} \\ 
    \vdots \\ 
    \sum\limits_{j=1}^p a_j B_{nj}
\end{array} \right) $

$= \sum\limits_{j=1}^p a_j \begin{pmatrix} B_{1j} \\ B_{2j} \\ \vdots \\ B_{nj} \end{pmatrix}$ = $\sum\limits_{j=1}^p a_jv_j$

 

$B$의 열벡터의 일차결합으로 $Bz$를 표현할 수 있단거는 $B$를 통해 선형변환된 벡터의 기저는 $B$의 열벡터들이라는 뜻일까?

(b) (a)의 결과를 확장하여 $AB$의 $j$열은 $A$의 열벡터의 일차결합이고 계수는 $B$의 $j$열에서 가져온 것임을 보여라.

2.13(1)에 의해 $AB$의 $j$열은 $Av_j$이다.

따라서

$u_j = 
\left( \begin{array}{l} 
    \sum\limits_{k=1}^n A_{1k} B_{kj} \\ 
    \sum\limits_{k=1}^n A_{2k} B_{kj} \\ 
    \vdots \\ 
    \sum\limits_{k=1}^n A_{mk} B_{kj}
\end{array} \right) $

 

$=
\sum\limits_{k=1}^n B_{kj}
\left( \begin{array}{l} 
    A_{1k} \\ 
    A_{2k} \\ 
    \vdots \\ 
    A_{mk}
\end{array} \right) $

가 된다.

즉, $AB$의 $j$열은 $A$의 열벡터의 일차결합이고 그 계수는 $B$의 $j$번째 열벡터이다.

$A$의 $j$ 열을 $w_j$라 하면 $u_j = B_{1j}w_1 + B_{2j}w_2 + \ldots + B_{nj}w_n$인 것이다.