프리드버그 선형대수학 연습문제 2.1

13. 벡터공간 $\textbf{V}$, $\textbf{W}$와 선형변환 $\textbf{T}: \textbf{V} \rightarrow \textbf{W}$에 대하여 일차독립인 집합 ${w_1, w_2, ..., w_k} \subseteq \textbf{R}(\textbf{T})$를 생각하자. $\textbf{T}(v_i) = w_i  \ (i = 1, 2, ..., k)$가 되도록 집합 $S = {v_1, v_2, ..., v_k}$를 선택하면 $S$는 일차독립임을 보여라.

일차독립임을 보이는 것이니 $\sum\limits_{i=0}^k a_iv_i = 0$을 가정하자.

T가 선형이므로 이는 다음과 같이 변형할 수 있다.

$\textbf{T}(\sum\limits_{i=0}^k a_iv_i) = 0$

$\sum\limits_{i=0}^k a_i\textbf{T}(v_i) = 0$

그리고 $\textbf{T}(v_i) = w_i$이므로 $\sum\limits_{i=0}^k a_iw_i = 0$ 로 표현할 수 있다.  

이때 ${w_1, w_2, ..., w_k}$는 일차독립이므로 위 식의 스칼라 값은 전부 0 임을 알 수 있다.

따라서 집합 $S$는 일차독립이다.

 

14. 벡터공간 $\textbf{V}, \textbf{W}$와 선형변환 $\textbf{T}: \textbf{V} \rightarrow \textbf{W}$에 대한 다음 명제가 참임을 보여라.

(a) $\textbf{T}$가 단사이기 위한 필요충분조건은 $\textbf{T}$가 $\textbf{V}$의 일차독립인 부분집합을 $\textbf{W}$의 일차독립인 부분집합으로 옮기는 것이다.

먼저 필요조건부터 증명하자.

$\sum\limits_{i=0}^n a_i\textbf{T}(v_i) = 0$이라 가정하자.

$\textbf{T}$는 선형이므로 $\textbf{T}(\sum\limits_{i=0}^n a_iv_i) = 0$이다.

또한 $\textbf{T}$는 단사이므로 $\textbf{T}(x) = 0 \Rightarrow x = 0$을 의미한다.

즉 $\sum\limits_{i=0}^n a_iv_i = 0$이다.

이는 어떤 $v_i$들에 대해서도 일차결합의 값이 0이어야 함을 의미하므로 모든 a_i는 0이어야 한다.

 

다음으로 충분조건을 증명하자.

이는 필요조건과 반대로 하면 된다.

$\textbf{T}(\sum\limits_{i=0}^n a_iv_i) = 0$라 가정하자.

이때 $\textbf{T}$는 단사이므로 $\sum\limits_{i=0}^n a_iv_i$는 0이어야 한다.

따라서 모든 $a_i$는 0이다.

이때 $\textbf{T}$는 선형이니 $\sum\limits_{i=0}^n a_i\textbf{T}(v_i) = 0$이 된다.

이때 모든 a_i는 0이니 $\textbf{T}(v_i)$는 일차독립인 부분집합이다.

(b) $\textbf{T}$가 단사이고, $S$는 $\textbf{V}$의 부분집합이라 가정하자. $S$가 일차독립이기 위한 필요충분조건은 $\textbf{T}(S)$가 일차독립인 것이다.

이번에는 충분조건부터 봐보자.

$S$가 일차독립이다.

이때 $\textbf{T}$는 단사이므로 바로 위의 문제 (a)에 의해 $\textbf{T}(S)$는 일차독립임이 증명된다.

 

다음으로 필요조건이다.

$\textbf{T}(S)$가 일차독립이다.

이때 2.1.13에 의해 $S$가 일차독립임이 증명된다.

(c) $\textbf{T}$가 일대일대응이라 가정하자. $\beta = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$이 $\textbf{V}$의 기저일 때, $\textbf{T}(\beta) = \{\textbf{T}(v_1), \textbf{T}(v_2), \ldots, \textbf{T}(v_n)\}$이 $\textbf{W}$의 기저이다.

먼저 $\textbf{T}$는 일대일대응 즉, 단사이므로 일차독립인 부분집합을 일차독립인 부분집합으로 옮긴다.

따라서 $\{\textbf{T}(v_1), \textbf{T}(v_2), \ldots, \textbf{T}(v_n)\}$가 일차독립임을 알 수 있다.

이제 $\{\textbf{T}(v_1), \textbf{T}(v_2), \ldots, \textbf{T}(v_n)\}$가 $\textbf{W}$를 생성함을 보이자.

$\textbf{T}$는 일대일대응 즉, 전사이므로 $\textbf{R}(T) = \textbf{W}$이다.

이때 정리 2.2에 의해 $\textbf{R}(T) = span(\textbf{T}(\beta))$ 이다.

따라서 $\{\textbf{T}(v_1), \textbf{T}(v_2), \ldots, \textbf{T}(v_n)\}$는 $\textbf{W}$의 기저이다.

 

15. 다음과 같이 정의한 함수 $\textbf{T}$는 단사이지만 전사가 아닌 선형변환임을 증명하라.
$$\textbf{T}: \textbf{P}(R) \rightarrow \textbf{P}(R), \quad \textbf{T}(f(x)) = \int_0^x f(t) \ dt$$

적분방정식이 선형변환임은 앞에서 알아보았다.

먼저 단사임을 증명해 보자.

임의의 다항식 $\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i$을 생각하자.

$\textbf{T}(\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i) = \sum\limits_{i=0}^n \frac{a_i}{i+1}x^{i+1}$이다.

$\textbf{T}$가 단사함수이기 위한 필요충분조건은 $\textbf{N}(\textbf{T}) = {0}$이다.

이를 위 식에 적용해 보면 $\sum\limits_{i=0}^n \frac{a_i}{i+1}x^{i+1}$가 0이기 위해서는 스칼라값이 전부 0이어야 하고 이는 결국 $\textbf{N}(\textbf{T}) = {0}$를 의미한다.

 

다음으로 전사가 아님을 보이자.

이는 간단하다.

$\sum\limits_{i=0}^n \frac{a_i}{i+1}x^{i+1}$를 풀어쓰면 아래와 같다.

$$a_0x^1 + \frac{a_1}{2}x^{2} + ... + \frac{a_i}{n+1}x^{n+1}$$

위 함수는 $f(x) = 1, 2, 3$ 과 같은 $\textbf{P}_0(R)$를 표현할 수 없다.

따라서 전사함수가 아니다.