프리드버그 선형대수학 연습문제 4.3

10. 어떤 자연수 $k$에 대하여 $M^k = O$인 행렬 $M \in \mathbfsf{M}_{n \times n}(F)$를 nilpotent matrix(멱영행렬)이라 한다. (단, $O$는 $n \times n$ 영행렬) $M$이 nilpotent이면 det($M$) = $O$임을 증명하라.

정리 4.7에서 행렬식은 곱을 보존함을 보였다.

따라서 det($M^k$) = det($M \cdot M \cdot M \cdot \ldots \cdot M$) = det($M$) $\cdot$ det($M$) $\cdot \ldots \cdot$ det($M$)이다.

이때 det($M^k$) = 0이니 det($M$)은 0이어야한다.

 

14. 서로 다른 $n$개의 벡터로 이루어진 집합 $\beta \{u_1, u_2, \ldots, u_n\} \subset \mathbfsf{F}^n$와 $j$열이 $u_j$인 행렬 $B \in \mathbfsf{M}_{n \times n}(F)$를 생각하자. $\beta$가 $\mathbfsf{F}^n$의 기저이기 위한 필요충분조건은 det($B$) $\neq 0$임을 증명하라.

정리 4.7의 따름정리에 의해 det($B$) $\neq 0$이면 $B$는 가역이다.

이때 $B$가 가역임은 $B$의 열들이 일차독립임을 의미한다.

이는 $n$개의 벡터들이 $\mathbfsf{F}^n$의 기저임을 보이는데 충분하다.