프리드버그 선형대수학 연습문제 5.1

7. 유한차원 벡터공간 $\mathbfsf{V}$에서 정의된 선형연산자 $\mathbfsf{T}$와 순서기저 $\beta$를 생각하자. $\lambda$가 $\mathbfsf{T}$의 고윳값이기 위한 필요충분조건은 $\lambda$가 $[\mathbfsf{T}]_\beta$의 고윳값인 것임을 증명하라.

정리 2.14에 의해 $[T(u)]_\gamma = [T]^\gamma_\beta[u]_\beta$이므로

$Tv = \lambda v$

$[T]_\beta[v]_\beta = \lambda [v]_\beta$이다.

 

8. 유한차원 벡터공간 $\mathbfsf{V}$에서 정의된 선형연산자 $\mathbfsf{T}$를 생각하자. 다음 명제가 참임을 증명하라.

(a) $\mathbfsf{V}$의 순서기저의 선택과 $\mathbfsf{T}$의 행렬식의 정의는 서로 영향을 받지 않는다. 다시 말해 $\beta$와 $\gamma$가 $\mathbfsf{V}$의 서로다른 순서기저일 때, $det([\mathbfsf{T}]_\beta) = det([\mathbfsf{T}]_\gamma)$이다.

정리 2.23에 의해 $[T]_\beta' = Q^{-1}[T]_\beta Q$이다.(Q는 $\beta'$ 좌표를 $\beta$좌표로 변환하는 행렬)

따라서 $[T]_\beta = [I]^\beta_\gamma[T]_\gamma[I]^\gamma_\beta$이고

행렬식의 곱을 보존하는 성질을 생각하면 명제가 참임을 보일 수 있다.

(b) $\mathbfsf{T}$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $det(\mathbfsf{T}) \neq 0$이다.

정리 2.18에 의해 $T$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $[T]^\gamma_\beta$가 가역인것이므로

정리 4.7의 따름정리를 활용하면

위 명제는 참이다.

(c) $\mathbfsf{T}$가 가역이면 $det(\mathbfsf{T}^{-1}) = [det(\mathbfsf{T})]^{-1}$

$det(T^{-1}) = det([T^{-1}]_\beta) = det(([T]_\beta)^{-1}) = det([T]_\beta)^{-1} = det(T)^{-1}$

(d) $\mathbfsf{U}$가 $\mathbfsf{V}$의 선형연산자이면 $det(\mathbfsf{TU}) = det(\mathbfsf{T}) \cdot det(\mathbfsf{U})$이다.

$det(TU) = det([TU]_\beta) = det([T]_\beta[U]_\beta)$

이후는 행렬식의 곱을 보존하는 성질을 떠올리면 된다.

(e) 임의의 스칼라 $\lambda$와 임의의 ($\mathbfsf{V}$의) 순서기저 $\beta$에 대하여 $det(\mathbfsf{T} - \lambda \mathbfsf{I}_{\mathbfsf{V}}) = det([\mathbfsf{T}]_\beta - \lambda I)$이다.

$det(T-\lambda I_V) = det([T-\lambda I_V]_\beta) = det([T]_\beta - \lambda[I]_\beta) = det([T]_\beta - \lambda I)$