애옹쓰

5. 정리 2.12와 정리 2.12의 따름정리의 증명을 각각 완성하라.정리 2.12$A$가 $m X n$ 행랼, $B$와 $C$가 $n \times p$ 행렬, $D$와 $E$가 $q \times m$ 행렬일 때, 다음이 성립한다.(1) $A(B + C) = AB + AC, (D + E)A = DA + EA$(2) 임의의 스칼라 $a$에 대하여 $a(AB) = (aA)B = A(aB)$(3) $I_mA = A = AI_n$(Corollary) $m \times n$ 행렬 $A$와 $n \times p$ 행렬 $B_1, B_2, ..., B_k, q \times m$행렬 $C_1, C_2, ..., C_k,$ 스칼라 $a_1, a_2, ..., a_k$에 대하여 다음이 성립한다.$$A(\sum\limits..

13. 벡터공간 $\textbf{V}$, $\textbf{W}$와 선형변환 $\textbf{T}: \textbf{V} \rightarrow \textbf{W}$에 대하여 일차독립인 집합 ${w_1, w_2, ..., w_k} \subseteq \textbf{R}(\textbf{T})$를 생각하자. $\textbf{T}(v_i) = w_i  \ (i = 1, 2, ..., k)$가 되도록 집합 $S = {v_1, v_2, ..., v_k}$를 선택하면 $S$는 일차독립임을 보여라.일차독립임을 보이는 것이니 $\sum\limits_{i=0}^k a_iv_i = 0$을 가정하자.T가 선형이므로 이는 다음과 같이 변형할 수 있다.$\textbf{T}(\sum\limits_{i=0}^k a_iv_i) = 0$$\..

일차독립인 극대 부분집합이번 장에서는 기저를 무한차원으로 확장시킨다.사실 이장의 전부이기 때문에 이를 기록한다. 핵심아이디어는 아래와 같다.1. 무한집합에는 극대 부분집합이 존재할 수 있다.2. 일차독립인 극대 부분집합은 기저와 동치이다.3. 모든 벡터공간은 일차독립인 극대 부분집합을 가진다. 1번은 증명할 것이 없다.기저를 무한차원으로 확장시키기 위해 극대 원소라는 개념을 도구로 사용하는 느낌. 2번을 증명해 보자벡터공간 $\textbf{V}$가 있고 $\textbf{V}$를 생성하는 부분집합 $S$가 있다.일차독립인 극대 부분집합은 $\beta$라 하자.$\beta$는 일차독립이므로 $\beta$가 벡터공간을 생성함을 보이면 충분하다.$S \subseteq $span$(\beta)$라 가정하자.만약 ..

라그랑주 보간법1.6 장을 읽던 중 재밌는 주제가 있어 기록한다.$$f_i(x) = \frac{(x-c_0)...(x-c_{i-1})(x-c_{i+1})...(x-c_n)}{(c_i-c_0)...(c_i-c_{i-1})(c_i-c_{i+1})...(c_i-c_n)} = \prod_{\substack{k=0 \\ k \neq i}}^n \frac{x-c_k}{c_i-c_k}$$위 식은 라그랑주 다항식이라고 하고 특징으로는 아래와 같다.$$f_i(c_j) = \begin{cases} 0 & (i \neq j) \\ 1 & (i=j) \end{cases}$$ 이러한 함수들의 집합인 $\beta = \{f_0, f_1, ..., f_n\}$이 있다.$\beta$가 $\textbf{P}_n(F)$의 일차독립인 부..

1. 다음 명제의 참/거짓을 판정하라(a) 집합 $S$가 일차종속이면 $S$의 모든 벡터는 ($S$의) 다른 벡터의 일차결합이다.거짓이다.$a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = 0$에서 $a_i$가 0이 일부 있을 경우 해당 항의 벡터는 다른 벡터의 일차결합으로 만들 수 없다.(b) 영벡터를 포함하는 임의의 집합은 일차종속이다.참이다.영벡터는 영벡터의 자명한 표현을 통해 항상 다른 벡터의 일차결합으로 만들 수 있기 때문이다.(c) 공집합은 일차종속이다.거짓이다.공집한은 일차독립으로 간주한다.일차결합할 원소가 없으니 어떠한 원소도 일차결합으로 표현할 수 없기 때문이다.(d) 일차종속인 집합의 부분집합은 일차종속이다.거짓이다.(a)에서 설명했듯이 일차종속인 집합에서도 다른 벡터들의 일차..

(a) 영벡터는 공집합이 아닌 임의의(벡터에 대한) 집합의 일차결합이다.참모든 벡터공간 $\mathbf{V}$와 그의 원소 $v \in \mathbf{V}$에 대하여 $0v = 0$이기 때문이다.(b) $\varnothing$의 생성공간은 $\varnothing$이다.거짓공집합의 생성공간은 ${0}$으로 정의한다고한다. 필자는 공집합의 생성공간은 공집합이라고 생각되지만 벡터공간의 공리 때문에 위와 같이 정의한다고 한다.챗지피티 답변 (c) 벡터공간 $\mathbf{V}$의 부분집합 $S$에 대하여, span($S$)는 $S$를 포함하는 $\mathbf{V}$의 모든 부분공간의 교집합이다.참말이 복잡하게 돼있는데 $S$를 포함하는 부분공간은 span($S$)를 포함하는지 물어보는 것이다.생성공간은 벡터들의..

1. 다음 명제의 참-거짓을 판정하라.(a) 벡터공간 $\textbf{V}$의 부분집합 $\textbf{W}$가 벡터공간이면 $\textbf{W}$는 $\textbf{V}$의 부분공간이다.거짓벡터공간이 부분공간이 되기 위해서는 추가적으로 임의의 원소 둘의 합과 임의의 원소를 스칼라곱 했을때 그 값이 벡터공간에 존재해야한다는 조건이 필요하기 때문이다.(b) 공집합은 모든 벡터공간의 부분공간이다.거짓오히려 공집합은 모든 벡터공간의 부분공간이 아니다.$0$이 없기 때문이다.(c) V가 점공간이 아닌 벡터공간이면 $\textbf{V}$에는 $\textbf{W} \neq \textbf{V}$인 부분공간 $\textbf{W}$를 포함한다.참${0}$은 항상 부분공간이기 때문이다.(d) 벡터공간 $\textbf{V}..

9. 정리 1.1의 따름정리 1, 따름정리 2와 정리 1.2(3)을 각각 증명하라. 정리 1.1의 따름정리 1 : (VS3)을 만족하는 벡터 $0$은 유일하다.VS3 : 모든 $x \in \textbf{V}$에 대하여 $x + 0 = x$인 $0 \in \textbf{V}$이 존재한다.정리 1.1의 따름정리 2 : (VS4)를 만족하는 벡터 y는 유일하다.VS4 : 각 $x \in \textbf{V}$마다 $x + y = 0$인 $y \in \textbf{V}$가 존재한다.정리 1.2(3) : 모든 스칼라 $a$에 대하여 $a0 = 0$이다.따름정리1덧셈의 항등원이 $0$과 $0^\prime$이 있다고 하자.그러면 $0 + 0^\prime = 0, 0^\prime + 0 = 0^\prime$ 일 것이다...

5. 원점이 시점이고 $(a_1, a_2)$가 종점인 벡터 $x$에 대하여 벡터 $tx$의 시점은 원점이고 종점은 $(ta_1, ta_2)$임을 증명하라.점 A로 향하는 벡터를 $x$ 점 C로 향하는 벡터를 $tx$라하고, 각각의 x축으로의 수선의 발을 B, D라 하자.  이때 원점을 O라 하면 삼격형 OBA와 삼각형 ODC는 각 O를 공유하고 둘 다 직각을 가지고 있으므로 닮음이 된다.   따라서 대응변의 길이의 비율이 서로 동일하므로 OA:OC = OB:OD = AB:CD = t 가 되고OB가 $(a_1, 0)$일때 OD는 $(ta_1, 0)$이고 AB: CD도 동일하게 하면 점 C로 향하는 벡터, 즉 $tx$의 종점은 $(ta_1, ta_2)$가 된다. 6. $(a, b)와 (c, d)$를 양 끝점..

본 글에선 고윳값과 고유벡터가 무엇인지 어떻게 구하는지만 간단히 알아보겠다. 먼저 고윳값과 고유벡터의 정의는임의의 n×n n × n 행렬 A 에 대하여, 0이 아닌 솔루션 벡터 x 가 존재한다면 숫자 λ 는 행렬 A 의 고윳값라고 할 수 있다. 이 때, 솔루션 벡터 x 는 고윳값 λ 에 대응하는 고유벡터이다.이고 내가 이해한대로 설명하면 벡터 x에 행렬A로 선형 변환을 했을때 방향이 바뀌지 않고 그 크기만 바뀔 때 해당 벡터를 행렬A의 고유벡터, 그 크기를 고윳값이라한다. 즉 Ax = λx인 것이다. (λ은 람다로 고윳값을 의미하는 기호이다) 행렬A로 선형변환 한것과 그냥 스칼라를 곱한 것과 같은 것이다.위 식에서 λx = λIx이므로(I는 단위행렬를 의미, 단위 행렬은 행렬의 항등원) Ax = λIx가..