고윳값, 고유벡터

본 글에선 고윳값과 고유벡터가 무엇인지 어떻게 구하는지만 간단히 알아보겠다.

 

먼저 고윳값과 고유벡터의 정의는

임의의 n×n n × n 행렬 A 에 대하여, 0이 아닌 솔루션 벡터 x 가 존재한다면 숫자 λ 는 행렬 A 의 고윳값라고 할 수 있다. 이 때, 솔루션 벡터 x 는 고윳값 λ 에 대응하는 고유벡터이다.

이고 내가 이해한대로 설명하면 벡터 x에 행렬A로 선형 변환을 했을때 방향이 바뀌지 않고 그 크기만 바뀔 때 해당 벡터를 행렬A의 고유벡터, 그 크기를 고윳값이라한다.

 

즉 Ax = λx인 것이다. (λ은 람다로 고윳값을 의미하는 기호이다) 행렬A로 선형변환 한것과 그냥 스칼라를 곱한 것과 같은 것이다.

위 식에서 λx = λIx이므로(I는 단위행렬를 의미, 단위 행렬은 행렬의 항등원) Ax = λIx가 되고 우항을 좌항으로 넘기면 Ax - λIx = 0이 된다 x로 묶으면 (A-λI)x = 0이 된다. 이때 만약 (A-λI)가 역행렬이 존재해 x = 0(A-λI)^-1 이 되면 x가 무조건 0벡터가 된다. 

하지만 고유벡터는 0벡터이면 안되므로(0벡터이면 원점을 의미하는 것인데, 선형변환에서는 공간이 휘거나 원점이 이동하지는 않으므로 0벡터는 모든 선형변환에 대해 고유벡터가 되버리므로 0벡터는 고유벡터가 안되는 것 같다) (A-λI)의 역행렬은 존재하면 안된다.

이는 (A-λI)의 행렬식이 0임을 의미한다.

 

예시를 통해 같이 풀어보겠다.

위식에 λI를 빼면

위 식처럼 되고 위 식의 행렬식은 (1-λ)(-3-λ)(4-λ)이다.

따라서 고윳값은 1,-3,4이고 고윳값 1일때 고유벡터를 구하면

다음 두 행렬을 곱했을때 값이 고유값(1) * 고유벡터이다.

이를 풀어보면 3x_2 = 4x_3, 9x_1 = -x_3 이고 따라서 고유벡터는 (-1/9, 4/3, 1)이 된다.

다른 고유값도 같은 방법으로 진행하면 다음과 같이 나온다.

실제로 행렬A를 각 고유벡터에 선형변환 시켜보면 고유벡터 * 고윳값 한 벡터가 나온다.

 

또 행렬식값을 구하는 중에 이중근이 나오는 경우가있는데 이 경우 한 고윳값에 고유벡터가 여러개 일 수 있다.

 

고윳값과 고유벡터는 단순히 선형변환시 방향이 바뀌지 않는 기하학적인 의미 말고도 여러 특성이 많은데 이는 다음에 대각화에 대해 포스팅할때 알아보겠다(만약 쓰게 된다면...)