애옹쓰

6. 선형범함수 $\mathbfsf{f} \in (\mathbfsf{R}^2)$를 $\mathbfsf{f}(x, y) = 2x + y$, 선형변환 $\mathbfsf{T}: \mathbfsf{R}^2 \rightarrow \mathbfsf{R}^2$을 $\mathbfsf{T}(x, y) = (3x + 2y, x)$라 정의하자. 다음 물음에 답하라.(a) $\mathbfsf{T}^t(f)$를 구하라.정리 2.25에 나와있는 $\mathbfsf{T}^t$의 정의에 따라 계산하면 $7x + 4y$가 나온다.(b) $\mathbfsf{R}^2$의 표준 순서기저를 $\beta$, 쌍대기저를 $\beta* = \{\mathbfsf{f}_1, \mathbfsf{f}_2 \}$ 라 하자. $\mathbfsf{T}^t(..

4. $\textbf{R}^2$의 선형연산자 $\textbf{T}$를 $\textbf{T} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + b \\ a - 3b \end{pmatrix}$, $\textbf{R}^2$의 표준 순서기저를 $\beta$라 정의하고 $\beta ' = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}$라 하자. 정리 2.23과 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2  \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$을..

9. $A, B$가 $n \times n$ 행렬이고 $AB$는 가역이라 하자. 이때 $A, B$ 모두 가역임을 증명하라.이전 장의 내용을 잘 숙지하고 연습문제를 제대로 풀었으면 쉽게 해결할 수 있다.문재의 힌트에 나와있듯이 2.3.12에서 만약 선형변환 $UT$가 단사라면 $T$단사이고 $UT$가 전사이면 $U$가 전사임을 증명했다.이를 이번문제에 적용하면 $AB$가 가역이므로 $L_AB$도 가역이다. $L_AB = L_AL_B$이므로, $L_A$는 전사이고 $L_B$는 전사임을 알 수 있다.이때 $A, B$의 정의역과 공역의 차원이 같으므로 정리 2.5에 의해 "선형변환이 전사이다"와 "선형변환이 단사이다" 라는 명제는 동치임을 알 수 있다. 따라서 $A, B$는 모두 전단사 함수이므로 가역이다. 15..

5. 정리 2.12와 정리 2.12의 따름정리의 증명을 각각 완성하라.정리 2.12$A$가 $m X n$ 행랼, $B$와 $C$가 $n \times p$ 행렬, $D$와 $E$가 $q \times m$ 행렬일 때, 다음이 성립한다.(1) $A(B + C) = AB + AC, (D + E)A = DA + EA$(2) 임의의 스칼라 $a$에 대하여 $a(AB) = (aA)B = A(aB)$(3) $I_mA = A = AI_n$(Corollary) $m \times n$ 행렬 $A$와 $n \times p$ 행렬 $B_1, B_2, ..., B_k, q \times m$행렬 $C_1, C_2, ..., C_k,$ 스칼라 $a_1, a_2, ..., a_k$에 대하여 다음이 성립한다.$$A(\sum\limits..

12. 순서기저 $\beta = \{v_1, v_2, ..., v_n\}$을 가지는 벡터공간 $\textbf{V}$에 대하여 선형변환 $\textbf{T}: \textbf{V} \rightarrow \textbf{V}$를 생각하자. $[\textbf{T}]_\beta$가 상삼각행렬이기 위한 필요충분조건은 $\textbf{T}(v_j) \in span(\{v_1, v_2, ..., v_j\}) (j = 1, 2, ..., n)$임을 증명하라.$[\textbf{T}]_\beta$가 상삼각행렬이기 위해서는 $\textbf{T}(v_j)$가$\{v_{j+1}, v_{j+2}, ..., v_n\}$없이(즉, $\{v_{j+1}, v_{j+2}, ..., v_n\}$의 계수는 0) $\{v_1, v_2, ..., ..

13. 벡터공간 $\textbf{V}$, $\textbf{W}$와 선형변환 $\textbf{T}: \textbf{V} \rightarrow \textbf{W}$에 대하여 일차독립인 집합 ${w_1, w_2, ..., w_k} \subseteq \textbf{R}(\textbf{T})$를 생각하자. $\textbf{T}(v_i) = w_i  \ (i = 1, 2, ..., k)$가 되도록 집합 $S = {v_1, v_2, ..., v_k}$를 선택하면 $S$는 일차독립임을 보여라.일차독립임을 보이는 것이니 $\sum\limits_{i=0}^k a_iv_i = 0$을 가정하자.T가 선형이므로 이는 다음과 같이 변형할 수 있다.$\textbf{T}(\sum\limits_{i=0}^k a_iv_i) = 0$$\..

일차독립인 극대 부분집합이번 장에서는 기저를 무한차원으로 확장시킨다.사실 이장의 전부이기 때문에 이를 기록한다. 핵심아이디어는 아래와 같다.1. 무한집합에는 극대 부분집합이 존재할 수 있다.2. 일차독립인 극대 부분집합은 기저와 동치이다.3. 모든 벡터공간은 일차독립인 극대 부분집합을 가진다. 1번은 증명할 것이 없다.기저를 무한차원으로 확장시키기 위해 극대 원소라는 개념을 도구로 사용하는 느낌. 2번을 증명해 보자벡터공간 $\textbf{V}$가 있고 $\textbf{V}$를 생성하는 부분집합 $S$가 있다.일차독립인 극대 부분집합은 $\beta$라 하자.$\beta$는 일차독립이므로 $\beta$가 벡터공간을 생성함을 보이면 충분하다.$S \subseteq $span$(\beta)$라 가정하자.만약 ..

라그랑주 보간법1.6 장을 읽던 중 재밌는 주제가 있어 기록한다.$$f_i(x) = \frac{(x-c_0)...(x-c_{i-1})(x-c_{i+1})...(x-c_n)}{(c_i-c_0)...(c_i-c_{i-1})(c_i-c_{i+1})...(c_i-c_n)} = \prod_{\substack{k=0 \\ k \neq i}}^n \frac{x-c_k}{c_i-c_k}$$위 식은 라그랑주 다항식이라고 하고 특징으로는 아래와 같다.$$f_i(c_j) = \begin{cases} 0 & (i \neq j) \\ 1 & (i=j) \end{cases}$$ 이러한 함수들의 집합인 $\beta = \{f_0, f_1, ..., f_n\}$이 있다.$\beta$가 $\textbf{P}_n(F)$의 일차독립인 부..

1. 다음 명제의 참/거짓을 판정하라(a) 집합 $S$가 일차종속이면 $S$의 모든 벡터는 ($S$의) 다른 벡터의 일차결합이다.거짓이다.$a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = 0$에서 $a_i$가 0이 일부 있을 경우 해당 항의 벡터는 다른 벡터의 일차결합으로 만들 수 없다.(b) 영벡터를 포함하는 임의의 집합은 일차종속이다.참이다.영벡터는 영벡터의 자명한 표현을 통해 항상 다른 벡터의 일차결합으로 만들 수 있기 때문이다.(c) 공집합은 일차종속이다.거짓이다.공집한은 일차독립으로 간주한다.일차결합할 원소가 없으니 어떠한 원소도 일차결합으로 표현할 수 없기 때문이다.(d) 일차종속인 집합의 부분집합은 일차종속이다.거짓이다.(a)에서 설명했듯이 일차종속인 집합에서도 다른 벡터들의 일차..

(a) 영벡터는 공집합이 아닌 임의의(벡터에 대한) 집합의 일차결합이다.참모든 벡터공간 $\mathbf{V}$와 그의 원소 $v \in \mathbf{V}$에 대하여 $0v = 0$이기 때문이다.(b) $\varnothing$의 생성공간은 $\varnothing$이다.거짓공집합의 생성공간은 ${0}$으로 정의한다고한다. 필자는 공집합의 생성공간은 공집합이라고 생각되지만 벡터공간의 공리 때문에 위와 같이 정의한다고 한다.챗지피티 답변 (c) 벡터공간 $\mathbf{V}$의 부분집합 $S$에 대하여, span($S$)는 $S$를 포함하는 $\mathbf{V}$의 모든 부분공간의 교집합이다.참말이 복잡하게 돼있는데 $S$를 포함하는 부분공간은 span($S$)를 포함하는지 물어보는 것이다.생성공간은 벡터들의..